PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước 14m * 12m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_{1}), (P_{2}) là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, (C) là đường tròn có tâm trùng với tâm của mành sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn (C) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục) ,Câu 2: Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một,máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm,N((000 000:10 tong 20 hhtt. Nuu ááy byy tiếp tục gữữ nguyên vậ ttố và hướn ay thì ọa độ củaa,máy bay sau 5 phút tiếp theo bằng $(a;b;c)$ với $a\in\mathbb N.$ Tính a.,,Câu 3: Một bình đựng 50 viên bi cỏ kích thước, chất liệu như nhau; trong đó có 30 viên bi màu đen,và 20 viên bi màu trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi không hoàn lại, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một,viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng,ở lần thứ hai. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 4: Câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT dự định làm các bình hoa bằng giấy để bán,trong một hội chợ gây quỹ từ thiện. Cần 1 giờ để làm một bình hoa nhỏ và sẽ bán với giá 100 nghìn,đồng và 90 phút để làm một bình hoa lớn và bán với giá 200 nghìn đồng. Câu lạc bộ này chỉ thu xếp,được 15 giờ nghỉ để làm và ban tổ chức yêu cầu phải làm ít nhất là 12 bình hoa. Số tiền lớn nhất mà,câu lạc bộ có thể thu về là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng),Câu 5: Một tòa nhà có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là 160m và cạnh bên là,$140~m.$ Giả sử, từ một mặt bên của tòa nhà ta cần thiết kế con đường ngắn nhất để di chuyển đến tâm,của đáy tòa nhà, khi đó quãng đường ngắn nhất có độ dài khoảng bao nhiêu mét? (quy tròn đến hàng,phần chục).,,Câu 6: Một cơ sở sản xuất quần áo trẻ em đang bán mỗi bộ quần áo với giá 80 nghìn đồng một bộ,và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 1200 bộ quần áo. Cơ sở sản suất đang có kế hoạch tăng giá,bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lí thấy rằng nếu từ mức giá,80 nghìn đồng mà cứ mỗi lần tăng thêm 5 nghìn đồng mỗi bộ quần áo thì mỗi tháng sẽ bán ít đi 100,bộ. Biết vốn sản suất một bộ quần áo không thay đổi là 50 nghìn đồng. Để lợi nhuận thu được lớn,nhất thì cơ sở sản xuất đưa ra giá bán cho một bộ quần áo là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng).,----- HẾT -----,- Thí sinh không được sử dụng tài liệu:,- Cán bộ coi thi không gi.

Question

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước 14m * 12m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_{1}), (P_{2}) là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, (C) là đường tròn có tâm trùng với tâm của mành sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn (C) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)

,Câu 2: Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một,máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm,N((000 000:10 tong 20 hhtt. Nuu ááy byy tiếp tục gữữ nguyên vậ ttố và hướn ay thì ọa độ củaa,máy bay sau 5 phút tiếp theo bằng $(a;b;c)$ với $a\in\mathbb N.$ Tính a.,

,Câu 3: Một bình đựng 50 viên bi cỏ kích thước, chất liệu như nhau; trong đó có 30 viên bi màu đen,và 20 viên bi màu trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi không hoàn lại, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một,viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng,ở lần thứ hai. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 4: Câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT dự định làm các bình hoa bằng giấy để bán,trong một hội chợ gây quỹ từ thiện. Cần 1 giờ để làm một bình hoa nhỏ và sẽ bán với giá 100 nghìn,đồng và 90 phút để làm một bình hoa lớn và bán với giá 200 nghìn đồng. Câu lạc bộ này chỉ thu xếp,được 15 giờ nghỉ để làm và ban tổ chức yêu cầu phải làm ít nhất là 12 bình hoa. Số tiền lớn nhất mà,câu lạc bộ có thể thu về là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng),Câu 5: Một tòa nhà có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là 160m và cạnh bên là,$140~m.$ Giả sử, từ một mặt bên của tòa nhà ta cần thiết kế con đường ngắn nhất để di chuyển đến tâm,của đáy tòa nhà, khi đó quãng đường ngắn nhất có độ dài khoảng bao nhiêu mét? (quy tròn đến hàng,phần chục).,

,Câu 6: Một cơ sở sản xuất quần áo trẻ em đang bán mỗi bộ quần áo với giá 80 nghìn đồng một bộ,và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 1200 bộ quần áo. Cơ sở sản suất đang có kế hoạch tăng giá,bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lí thấy rằng nếu từ mức giá,80 nghìn đồng mà cứ mỗi lần tăng thêm 5 nghìn đồng mỗi bộ quần áo thì mỗi tháng sẽ bán ít đi 100,bộ. Biết vốn sản suất một bộ quần áo không thay đổi là 50 nghìn đồng. Để lợi nhuận thu được lớn,nhất thì cơ sở sản xuất đưa ra giá bán cho một bộ quần áo là bao nhiêu? (đơn vị: nghìn đồng).,----- HẾT -----,- Thí sinh không được sử dụng tài liệu:,- Cán bộ coi thi không gi.

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích của hình tròn (C) khi nó có diện tích lớn nhất.
2. Tính diện tích phần lát gạch.
3. Tính chi phí lát gạch.

Bước 1: Xác định diện tích của hình tròn (C) khi nó có diện tích lớn nhất

Hình tròn (C) có diện tích lớn nhất khi nó tiếp xúc với cả hai parabol (P₁) và (P₂). Vì vậy, đường kính của hình tròn (C) sẽ bằng khoảng cách giữa hai đỉnh của hai parabol.

Do hình tròn (C) có tâm trùng với tâm của mảnh sân, nên đường kính của hình tròn (C) sẽ bằng chiều rộng của mảnh sân, tức là 12m. Do đó, bán kính của hình tròn (C) là:
$$ r = \frac{12}{2} = 6 \text{ m} $$

Diện tích của hình tròn (C) là:
$$ S_C = \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \text{ m}^2 $$

Bước 2: Tính diện tích phần lát gạch

Phần lát gạch là phần còn lại của mảnh sân sau khi trừ đi diện tích của hình tròn (C).

Diện tích của mảnh sân hình chữ nhật là:
$$ S_{\text{sân}} = 14 \times 12 = 168 \text{ m}^2 $$

Diện tích phần lát gạch là:
$$ S_{\text{lát gạch}} = S_{\text{sân}} - S_C = 168 - 36\pi \text{ m}^2 $$

Bước 3: Tính chi phí lát gạch

Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Do đó, tổng chi phí lát gạch là:
$$ \text{Chi phí} = 240 \times (168 - 36\pi) \text{ nghìn đồng} $$

Chuyển đổi sang đơn vị triệu đồng:
$$ \text{Chi phí} = \frac{240 \times (168 - 36\pi)}{1000} \text{ triệu đồng} $$

Tính toán cụ thể:
$$ 168 - 36\pi \approx 168 - 36 \times 3.14159 \approx 168 - 113.1 = 54.9 \text{ m}^2 $$
$$ \text{Chi phí} = \frac{240 \times 54.9}{1000} \approx 13.176 \text{ triệu đồng} $$

Làm tròn tới hàng phần chục:
$$ \text{Chi phí} \approx 13.2 \text{ triệu đồng} $$

Vậy, chi phí lát gạch là:
$$ \boxed{13.2} \text{ triệu đồng} $$

Câu 2:
Đầu tiên, ta cần tính toán vận tốc của máy bay trong không gian.

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N:
   - Điểm M có tọa độ (500; 200; 8)
   - Điểm N có tọa độ (0; 0; 0)

Khoảng cách giữa hai điểm M và N:
   $$
   d = \sqrt{(500-0)^2 + (200-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{500^2 + 200^2 + 8^2} = \sqrt{250000 + 40000 + 64} = \sqrt{290064} = 538.56 \text{ km}
   $$

2. Tính vận tốc của máy bay:
   - Thời gian máy bay di chuyển từ M đến N là 20 phút, tức là $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ giờ.

Vận tốc của máy bay:
   $$
   v = \frac{d}{t} = \frac{538.56}{\frac{1}{3}} = 538.56 \times 3 = 1615.68 \text{ km/giờ}
   $$

3. Tính khoảng cách máy bay di chuyển trong 5 phút tiếp theo:
   - 5 phút tương đương $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ giờ.

Khoảng cách máy bay di chuyển trong 5 phút tiếp theo:
   $$
   d' = v \times t' = 1615.68 \times \frac{1}{12} = 134.64 \text{ km}
   $$

4. Tính tỉ lệ khoảng cách máy bay di chuyển trong 5 phút so với khoảng cách ban đầu:
   $$
   \frac{d'}{d} = \frac{134.64}{538.56} = \frac{1}{4}
   $$

5. Tính tọa độ mới của máy bay sau 5 phút tiếp theo:
   - Tọa độ ban đầu của máy bay là (0; 0; 0).

Tọa độ mới của máy bay sau 5 phút tiếp theo:
   $$
   a = 0 + \frac{1}{4} \times 500 = 125
   $$
   $$
   b = 0 + \frac{1}{4} \times 200 = 50
   $$
   $$
   c = 0 + \frac{1}{4} \times 8 = 2
   $$

Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $(125; 50; 2)$.

Đáp số: $a = 125$.

Câu 3:
Số cách chọn 1 viên bi đen từ 30 viên bi đen là:
$$ C_{30}^{1} = 30 $$

Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 20 viên bi trắng là:
$$ C_{20}^{1} = 20 $$

Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là:
$$ C_{50}^{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225 $$

Xác suất để lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng ở lần thứ hai là:
$$ P = \frac{C_{30}^{1} \times C_{20}^{1}}{C_{50}^{2}} = \frac{30 \times 20}{1225} = \frac{600}{1225} \approx 0.49 $$

Vậy xác suất để lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng ở lần thứ hai là khoảng 0.49 hoặc 49%.

Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tối ưu hóa.

Bước 1: Gọi số lượng bình hoa nhỏ là $ x $ và số lượng bình hoa lớn là $ y $.

Bước 2: Xác định các điều kiện ràng buộc:
- Thời gian làm việc: $ x + \frac{3}{2}y \leq 15 $
- Số lượng bình hoa: $ x + y \geq 12 $

Bước 3: Xác định hàm mục tiêu (số tiền thu về):
$$ P = 100x + 200y $$

Bước 4: Giải hệ bất phương trình để tìm các điểm vi phạm:
1. $ x + \frac{3}{2}y = 15 $
2. $ x + y = 12 $

Từ phương trình thứ hai, ta có:
$$ y = 12 - x $$

Thay vào phương trình thứ nhất:
$$ x + \frac{3}{2}(12 - x) = 15 $$
$$ x + 18 - \frac{3}{2}x = 15 $$
$$ \frac{2}{2}x - \frac{3}{2}x = 15 - 18 $$
$$ -\frac{1}{2}x = -3 $$
$$ x = 6 $$

Khi $ x = 6 $, ta có:
$$ y = 12 - 6 = 6 $$

Bước 5: Kiểm tra các điểm vi phạm:
- Điểm (0, 10): $ 0 + \frac{3}{2}(10) = 15 $ (thỏa mãn)
- Điểm (12, 0): $ 12 + 0 = 12 $ (thỏa mãn)
- Điểm (6, 6): $ 6 + \frac{3}{2}(6) = 15 $ (thỏa mãn)

Bước 6: Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm vi phạm:
- Tại điểm (0, 10): $ P = 100(0) + 200(10) = 2000 $
- Tại điểm (12, 0): $ P = 100(12) + 200(0) = 1200 $
- Tại điểm (6, 6): $ P = 100(6) + 200(6) = 600 + 1200 = 1800 $

Bước 7: So sánh các giá trị và chọn giá trị lớn nhất:
- $ P(0, 10) = 2000 $
- $ P(12, 0) = 1200 $
- $ P(6, 6) = 1800 $

Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 2000, đạt được khi $ x = 0 $ và $ y = 10 $.

Vậy số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu về là 2000 nghìn đồng.

Câu 5:
Để tìm quãng đường ngắn nhất từ một điểm trên mặt bên của tòa nhà đến tâm của đáy tòa nhà, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số:
   - Cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là $ a = 160 $ m.
   - Cạnh bên của hình chóp là $ l = 140 $ m.

2. Tính chiều cao của hình chóp:
   - Tâm của đáy hình chóp là trung điểm của đường chéo của hình vuông đáy.
   - Độ dài đường chéo của đáy là $ d = a\sqrt{2} = 160\sqrt{2} $ m.
   - Khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy là $ \frac{d}{2} = \frac{160\sqrt{2}}{2} = 80\sqrt{2} $ m.
   - Chiều cao của hình chóp $ h $ có thể tính bằng công thức Pythagoras trong tam giác vuông gồm cạnh bên, chiều cao và khoảng cách từ tâm đáy đến đỉnh đáy:
     $$
     h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{140^2 - (80\sqrt{2})^2} = \sqrt{19600 - 12800} = \sqrt{6800} = 20\sqrt{17} \text{ m}
     $$

3. Tìm quãng đường ngắn nhất từ một điểm trên mặt bên đến tâm đáy:
   - Ta xét tam giác vuông gồm chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ tâm đáy đến đỉnh đáy và quãng đường ngắn nhất.
   - Quãng đường ngắn nhất $ D $ từ một điểm trên mặt bên đến tâm đáy là:
     $$
     D = \sqrt{(80\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{17})^2} = \sqrt{12800 + 6800} = \sqrt{19600} = 140 \text{ m}
     $$

Vậy quãng đường ngắn nhất từ một điểm trên mặt bên của tòa nhà đến tâm của đáy tòa nhà là 140 m.

Câu 6:
Giả sử giá bán mỗi bộ quần áo tăng thêm $x$ lần, mỗi lần 5 nghìn đồng.

Sau khi tăng giá, giá bán mỗi bộ quần áo là:
$$ 80 + 5x \text{ (nghìn đồng)} $$

Số lượng bộ quần áo bán được mỗi tháng giảm đi:
$$ 1200 - 100x \text{ (bộ)} $$

Lợi nhuận thu được từ việc bán mỗi bộ quần áo là:
$$ (80 + 5x) - 50 = 30 + 5x \text{ (nghìn đồng)} $$

Do đó, tổng lợi nhuận mỗi tháng là:
$$ f(x) = (30 + 5x)(1200 - 100x) $$

Phát triển biểu thức:
$$ f(x) = 30 \times 1200 + 30 \times (-100x) + 5x \times 1200 + 5x \times (-100x) $$
$$ f(x) = 36000 - 3000x + 6000x - 500x^2 $$
$$ f(x) = -500x^2 + 3000x + 36000 $$

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) $, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại:
$$ f'(x) = -1000x + 3000 $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của $ x $:
$$ -1000x + 3000 = 0 $$
$$ 1000x = 3000 $$
$$ x = 3 $$

Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác nhận đây là điểm cực đại:
$$ f''(x) = -1000 $$

Vì $ f''(x) < 0 $, nên $ x = 3 $ là điểm cực đại.

Vậy giá bán mỗi bộ quần áo để lợi nhuận lớn nhất là:
$$ 80 + 5 \times 3 = 95 \text{ (nghìn đồng)} $$

Đáp số: 95 nghìn đồng.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước 14m * 12m như hình vẽ bên dưới, trong đó (P_{1}...