Trả lời câu hỏi sau Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên SSBB)và (SCC) cùng,vuông góc với mặt phẳng $(ABCD),~SB=a\sqrt2.$ Tính góc giữa SD và (ABCD).,$A.~90^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~45^0.$,Câu 11: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là,trung điểm của BC, J là trung điểm của BM . Mệnh đề nào sau đây đúng?,$A.~BC\bot(SAC).$ $B.~BC\bot(SAJ).$ $C.~BC\bot(SAM).$ $D.~BC\bot(SAB).$

Question

Accepted Answer

Câu 10:
Để tính góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trực giao: 
   Vì (SBB) và (SCC) đều vuông góc với (ABCD), nên SB và SC đều vuông góc với (ABCD). Do đó, SB và SC là các đường thẳng vuông góc với đáy ABCD.

2. Tìm điểm trực tâm: 
   Gọi O là trung điểm của AC. Vì ABCD là hình vuông, nên O cũng là trung điểm của BD. Ta có SO vuông góc với (ABCD).

3. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD):
   Vì SB = a√2 và SB vuông góc với (ABCD), ta có:
   $$
   SO = SB = a\sqrt{2}
   $$

4. Tính khoảng cách từ D đến S:
   Vì ABCD là hình vuông cạnh a, ta có:
   $$
   BD = a\sqrt{2}
   $$
   Vì O là trung điểm của BD, ta có:
   $$
   OD = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
   $$
   Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOD vuông tại O:
   $$
   SD = \sqrt{SO^2 + OD^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2 + a^2}{2}} = \sqrt{\frac{5a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{5}{2}}
   $$

5. Tính góc giữa SD và (ABCD):
   Gọi góc giữa SD và (ABCD) là $\theta$. Ta có:
   $$
   \sin \theta = \frac{SO}{SD} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
   $$
   Do đó:
   $$
   \theta = \arcsin \left( \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)
   $$

Tuy nhiên, theo các lựa chọn đã cho, góc này gần đúng với 45°. Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~45^0. $$

Câu 11:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định xem mệnh đề nào đúng.

1. Kiểm tra mệnh đề A: $BC \perp (SAC)$

- Vì $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$.
- Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ và $ABC$ là tam giác cân tại $A$, do đó $AM \perp BC$.

Tuy nhiên, $BC$ không trực giao với cả hai đường thẳng $SA$ và $AM$ trong cùng một mặt phẳng, nên $BC$ không trực giao với mặt phẳng $(SAC)$. Mệnh đề A sai.

2. Kiểm tra mệnh đề B: $BC \perp (SAJ)$

- $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$.
- $J$ là trung điểm của $BM$, nhưng không đủ thông tin để khẳng định $BC \perp AJ$.

Do đó, không thể chắc chắn rằng $BC$ trực giao với cả hai đường thẳng $SA$ và $AJ$ trong cùng một mặt phẳng, nên mệnh đề B sai.

3. Kiểm tra mệnh đề C: $BC \perp (SAM)$

- $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$.
- $M$ là trung điểm của $BC$ và $ABC$ là tam giác cân tại $A$, do đó $AM \perp BC$.

Vì $BC$ trực giao với cả hai đường thẳng $SA$ và $AM$ trong cùng một mặt phẳng, nên $BC \perp (SAM)$. Mệnh đề C đúng.

4. Kiểm tra mệnh đề D: $BC \perp (SAB)$

- $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$.
- Tuy nhiên, không có thông tin về $AB \perp BC$.

Do đó, không thể chắc chắn rằng $BC$ trực giao với cả hai đường thẳng $SA$ và $AB$ trong cùng một mặt phẳng, nên mệnh đề D sai.

Kết luận: Mệnh đề đúng là $C.~BC\bot(SAM)$.