giúp mình với mình đang cần gấp ĐỀ SỐ 8,(Thời gian làm bài 120 phút),Câu 1. (2 điểm).,Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x-2}{2\sqrt x-1}$ và $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}+\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}-\frac{3\sqrt x+1}{x-1}$,với $x\geq0;$,$
e1,~x
e\frac14.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,2) Rút gọn biểu thức B.,3) Tìm các giá trị của x để $\sqrt{A.B}\leq\frac12.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Điều kiện xác định: $ x \geq 0; x \neq 1; x \neq \frac{1}{4} $.

1) Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $:

Thay $ x = 16 $ vào biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{\sqrt{16} - 2}{2\sqrt{16} - 1} = \frac{4 - 2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{2}{8 - 1} = \frac{2}{7} $$

2) Rút gọn biểu thức $ B $:

Biểu thức $ B $ là:
$$ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1} $$

Quy đồng mẫu số chung:
$$ B = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 + (\sqrt{x} - 1)^2 - (3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $$

Tính tử số:
$$ (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 $$
$$ (\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1 $$
$$ (3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = 3x - 3\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1 = 3x - 2\sqrt{x} - 1 $$

Tử số:
$$ x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1 - (3x - 2\sqrt{x} - 1) = x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1 - 3x + 2\sqrt{x} + 1 = 3 - x $$

Mẫu số:
$$ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1 $$

Do đó:
$$ B = \frac{3 - x}{x - 1} = \frac{-(x - 3)}{x - 1} = -1 $$

3) Tìm các giá trị của $ x $ để $ \sqrt{A \cdot B} \leq \frac{1}{2} $:

Ta có:
$$ \sqrt{A \cdot B} = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1} \right) \cdot (-1)} = \sqrt{-\frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1}} $$

Để $ \sqrt{-\frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1}} \leq \frac{1}{2} $, ta cần:
$$ -\frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1} \leq \frac{1}{4} $$

Nhân cả hai vế với 4:
$$ -4 \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1} \leq 1 $$

Nhân cả hai vế với $ -(2\sqrt{x} - 1) $ (nhớ đổi dấu):
$$ 4(\sqrt{x} - 2) \geq -(2\sqrt{x} - 1) $$

Phân phối và thu gọn:
$$ 4\sqrt{x} - 8 \geq -2\sqrt{x} + 1 $$
$$ 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} \geq 1 + 8 $$
$$ 6\sqrt{x} \geq 9 $$
$$ \sqrt{x} \geq \frac{3}{2} $$
$$ x \geq \left( \frac{3}{2} \right)^2 $$
$$ x \geq \frac{9}{4} $$

Vậy các giá trị của $ x $ thỏa mãn điều kiện là:
$$ x \geq \frac{9}{4}; x \neq 1; x \neq \frac{1}{4} $$

Đáp số:
1) $ A = \frac{2}{7} $
2) $ B = -1 $
3) $ x \geq \frac{9}{4}; x \neq 1; x \neq \frac{1}{4} $