Câu 1:
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
Lập luận: Phương trình mặt phẳng (P) là . Từ phương trình này, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là . Do đó, phát biểu này đúng.
b) Điểm thuộc mặt phẳng (P).
Lập luận: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng (P):
Phương trình đúng, do đó điểm thuộc mặt phẳng (P). Phát biểu này đúng.
c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) bằng 2.
Lập luận: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
Ở đây, , , , , và tọa độ điểm là . Thay vào công thức:
Do đó, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) là 1, không phải 2. Phát biểu này sai.
d) Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P).
Lập luận: Để hai mặt phẳng vuông góc nhau, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là . Tính tích vô hướng:
Tích vô hướng bằng 0, do đó hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Phát biểu này đúng.
Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Câu2
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Đạo hàm của hàm số là .
c) Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta giải phương trình :
Ta xét dấu của trên các khoảng , , và :
- Khi : (hàm số nghịch biến)
- Khi : (hàm số đồng biến)
- Khi : (hàm số nghịch biến)
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba nằm tại điểm . Ta kiểm tra lại:
- Đồ thị hàm số bậc ba luôn có tâm đối xứng tại điểm , trong đó là nghiệm của phương trình .
- Ta đã tìm được và là các điểm cực trị, nhưng tâm đối xứng nằm giữa chúng, tức là tại .
- Thay vào hàm số để tìm tung độ tâm đối xứng:
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là .
Kết luận:
a) Tập xác định của hàm số là .
b) Đạo hàm của hàm số là .
c) Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là .
Câu 3:
a) Đạo hàm của hàm số là:
b) Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục tung, ta thay vào phương trình hàm số:
Vậy giao điểm M của (C) với trục tung là .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là giá trị của đạo hàm tại điểm :
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là 3.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có dạng:
Tiếp tuyến này cắt trục Ox tại điểm A và trục Oy tại điểm B. Ta tìm tọa độ của các điểm này:
- Điểm A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, tức là :
Vậy tọa độ của điểm A là .
- Điểm B là giao điểm của tiếp tuyến với trục Oy, tức là :
Vậy tọa độ của điểm B là .
Diện tích của tam giác OAB là:
Vậy diện tích của tam giác OAB là .
Đáp số:
a)
b)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là 3.
d) Diện tích của tam giác OAB là .
Câu 4:
a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.
b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.
c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,25.
d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là:
Đáp số: 0,43
Câu 1:
Để tính chi phí lát đá hoa cương của công viên, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích hình vuông ban đầu.
2. Xác định phương trình của parabol và tính diện tích phần hình parabol.
3. Tính diện tích phần còn lại sẽ lát đá hoa cương.
4. Tính tổng chi phí lát đá hoa cương.
Bước 1: Tính diện tích hình vuông ban đầu.
Diện tích hình vuông ban đầu là:
Bước 2: Xác định phương trình của parabol và tính diện tích phần hình parabol.
Hình parabol có đỉnh tại O(0, 0) và đi qua điểm H(0, -20). Ta giả sử phương trình của parabol là .
Do parabol đi qua điểm H(0, -20), ta có:
Phương trình của parabol là:
Diện tích phần hình parabol từ x = -25 đến x = 25 là:
Bước 3: Tính diện tích phần còn lại sẽ lát đá hoa cương.
Diện tích phần còn lại là:
Bước 4: Tính tổng chi phí lát đá hoa cương.
Giá tiền vật liệu và công lát đá hoa cương là:
Tổng chi phí là:
Kết quả làm tròn đến hàng triệu:
Đáp số: 2167 triệu đồng.
Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về hình dạng cụ thể của cổng, kích thước và các chi tiết khác. Tuy nhiên, dựa trên mô tả "viền ngoài và trong", tôi sẽ giả định rằng cổng có hình dạng giống như một hình chữ nhật có viền bên trong và bên ngoài.
Bước 1: Xác định các thông số cần thiết
- Chiều dài và chiều rộng của viền ngoài.
- Chiều dài và chiều rộng của viền trong.
Bước 2: Tính diện tích của viền ngoài
Diện tích của viền ngoài = Chiều dài ngoài × Chiều rộng ngoài
Bước 3: Tính diện tích của viền trong
Diện tích của viền trong = Chiều dài trong × Chiều rộng trong
Bước 4: Tính diện tích của phần viền giữa
Diện tích của phần viền giữa = Diện tích của viền ngoài - Diện tích của viền trong
Bước 5: Kết luận
Diện tích của phần viền giữa là kết quả của phép trừ diện tích viền ngoài trừ đi diện tích viền trong.
Ví dụ:
Giả sử chiều dài ngoài là 10 m, chiều rộng ngoài là 5 m, chiều dài trong là 8 m, chiều rộng trong là 3 m.
Diện tích của viền ngoài = 10 × 5 = 50 m²
Diện tích của viền trong = 8 × 3 = 24 m²
Diện tích của phần viền giữa = 50 - 24 = 26 m²
Vậy diện tích của phần viền giữa là 26 m².
Lưu ý: Các thông số trên chỉ là ví dụ, bạn cần thay thế bằng các giá trị thực tế của bài toán để tính toán chính xác.