Làm bài tập

Câu 10. Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để giải bài toán này. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: $$ $$ Từ đó ta có: $$ $$ Bây giờ, ta cộng hai biểu thức trên lại: $$ $$ Do đó: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 11. Để tính số phần tử của biến cố A: "4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng", ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn 2 viên bi trắng từ 10 viên bi trắng: Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 10 viên bi trắng là: $$ 2. Chọn 2 viên bi từ các viên bi còn lại (6 viên bi đỏ + 8 viên bi xanh = 14 viên bi): Số cách chọn 2 viên bi từ 14 viên bi còn lại là: $$ 3. Tính tổng số cách chọn 4 viên bi sao cho có đúng 2 viên bi trắng: Tổng số cách chọn 4 viên bi có đúng 2 viên bi trắng là: $$ Vậy số phần tử của biến cố A là: $$ Đáp án đúng là: $$ Câu 12. Để tính xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ là số lẻ, chúng ta cần xác định các trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp có thể xảy ra. Trước tiên, hãy liệt kê các số lẻ và số chẵn trong tập hợp từ 1 đến 9: - Số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9 (5 số) - Số chẵn: 2, 4, 6, 8 (4 số) Tích của hai số sẽ là số lẻ nếu cả hai số đều là số lẻ. Do đó, chúng ta cần chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ đã liệt kê. Số cách chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ là: $$ Tổng số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ là: $$ Xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ là số lẻ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 1. a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là: Từ 9 bông hoa, ta chọn 4 bông tùy ý, số cách chọn là: $$ b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: Để số bông mỗi màu bằng nhau, ta phải chọn 2 bông hồng và 2 bông trắng. Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng là: $$ Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng là: $$ Vậy số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: $$ c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: Số cách chọn 3 bông hồng từ 5 bông hồng là: $$ Số cách chọn 1 bông trắng từ 4 bông trắng là: $$ Vậy số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: $$ d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: Tổng số cách chọn 4 bông từ 9 bông là 126 cách (như ở phần a). Số cách chọn 4 bông chỉ có 1 màu (hoặc toàn hồng hoặc toàn trắng): - Số cách chọn 4 bông hồng từ 5 bông hồng là: $$ - Số cách chọn 4 bông trắng từ 4 bông trắng là: $$ Vậy tổng số cách chọn 4 bông chỉ có 1 màu là: $$ Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu là: $$ Đáp số: a) 126 cách b) 60 cách c) 40 cách d) 120 cách Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng lựa chọn đã cho. Bước 1: Xác định các thông số của elip Elip (E) có dạng: $$ Biết rằng elip đi qua hai điểm $$ và $$. Kiểm tra điểm $$: Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình elip: $$ Kiểm tra điểm $$: Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình elip: $$ $$ Bước 2: Kiểm tra từng lựa chọn a) Điểm $$ thuộc elip (E): Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình elip: $$ Điểm $$ thuộc elip (E). b) $$: Chúng ta đã tính được $$ từ bước 1. c) $$: Chúng ta đã tính được $$ từ bước 1, nên $$ là sai. d) Điểm $$ nằm bên trong elip (E): Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình elip: $$ Vì $$, nên điểm $$ nằm bên trong elip (E). Kết luận Các lựa chọn đúng là: - a) Điểm $$ thuộc elip (E) - b) $$ - d) Điểm $$ nằm bên trong elip (E) Đáp án: a, b, d Câu 1. Để tìm giá trị lớn nhất của $$ khi điểm $$ chuyển động trên đường elip $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm $$: Gọi tọa độ của điểm $$ là $$. Vì $$ nằm trên đường elip $$, nên tọa độ của $$ thỏa mãn phương trình: $$ 2. Biểu diễn khoảng cách $$: Khoảng cách từ gốc tọa độ $$ đến điểm $$ là: $$ 3. Tìm giá trị lớn nhất của $$: Ta cần tối đa hóa biểu thức $$. Để làm điều này, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $$. Từ phương trình elip, ta có: $$ Nhân cả hai vế với 400 (số chung nhỏ nhất của 25 và 16): $$ Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $$. Xét biểu thức: $$ Thay $$ vào phương trình elip: $$ $$ $$ $$ $$ Để $$ lớn nhất, $$ cần lớn nhất. Xét lại phương trình elip: $$ Khi $$ đạt giá trị lớn nhất, $$ sẽ bằng 0. Do đó: $$ Thay $$ vào biểu thức $$: $$ Vậy giá trị lớn nhất của $$ là 25. Do đó, giá trị lớn nhất của $$ là: $$ Kết luận: Giá trị lớn nhất của $$ là 5, đạt được khi $$ và $$ hoặc $$ và $$. Câu 2. Để lập được các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, ta thực hiện các bước sau: 1. Chọn chữ số hàng trăm: Chữ số hàng trăm không thể là 0 vì như vậy sẽ không còn là số có ba chữ số. Do đó, ta có 6 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (1, 2, 3, 4, 5, 6). 2. Chọn chữ số hàng chục: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn lại 6 chữ số để chọn cho chữ số hàng chục (gồm cả 0 và các chữ số còn lại). Tuy nhiên, chữ số hàng chục phải khác chữ số hàng trăm, nên ta còn 6 - 1 = 5 lựa chọn. 3. Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm và hàng chục, ta còn lại 5 chữ số để chọn cho chữ số hàng đơn vị. Tuy nhiên, chữ số hàng đơn vị phải khác cả hai chữ số đã chọn trước đó, nên ta còn 7 - 2 = 5 lựa chọn. Do đó, tổng số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có thể lập được là: $$ Vậy, từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được 180 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Câu 1. Điều kiện xác định: $$ và $$ Giải bất phương trình $$: $$ $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ Giải phương trình $$: $$ $$ Do đó, điều kiện xác định là: $$ Bây giờ, ta xét phương trình $$ trong các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ Kiểm tra điều kiện $$: $$ $$ 2. Trường hợp 2: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ $$ $$ Kiểm tra lại điều kiện $$ hoặc $$: $$ Vậy tập nghiệm của phương trình là: $$ Câu 2. Để hai đường thẳng $$ và $$ vuông góc với nhau, ta cần sử dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng. Cụ thể, nếu hai đường thẳng có dạng $$ và $$, thì chúng vuông góc khi $$. Trong bài này, ta có: - Đường thẳng $$. Vậy $$ và $$. - Đường thẳng $$. Vậy $$ và $$. Áp dụng điều kiện vuông góc: $$ $$ $$ Giải phương trình này: $$ $$ $$ Vậy giá trị của $$ để hai đường thẳng vuông góc với nhau là: $$ Câu 3. Để tính xác suất để tấm thẻ rút ra từ hộp I được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số cách rút ra một thẻ từ mỗi hộp: - Hộp I có 5 thẻ, do đó có 5 cách để rút ra một thẻ từ hộp I. - Hộp II có 10 thẻ, do đó có 10 cách để rút ra một thẻ từ hộp II. - Tổng số cách rút ra một thẻ từ mỗi hộp là: $$ 2. Xác định số cách rút ra một thẻ từ hộp I và một thẻ từ hộp II sao cho thẻ từ hộp I có số nhỏ hơn thẻ từ hộp II: - Nếu thẻ từ hộp I là 1, thì thẻ từ hộp II có thể là bất kỳ thẻ nào từ 2 đến 10 (9 cách). - Nếu thẻ từ hộp I là 2, thì thẻ từ hộp II có thể là bất kỳ thẻ nào từ 3 đến 10 (8 cách). - Nếu thẻ từ hộp I là 3, thì thẻ từ hộp II có thể là bất kỳ thẻ nào từ 4 đến 10 (7 cách). - Nếu thẻ từ hộp I là 4, thì thẻ từ hộp II có thể là bất kỳ thẻ nào từ 5 đến 10 (6 cách). - Nếu thẻ từ hộp I là 5, thì thẻ từ hộp II có thể là bất kỳ thẻ nào từ 6 đến 10 (5 cách). Tổng số cách rút ra một thẻ từ mỗi hộp sao cho thẻ từ hộp I có số nhỏ hơn thẻ từ hộp II là: $$ 3. Tính xác suất: Xác suất để tấm thẻ rút ra từ hộp I được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II là: $$ Vậy xác suất để tấm thẻ rút ra từ hộp I được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II là $$.