????????????? Câu 1. Một bình đựng 50 viên bi trong đó có 30 viên bi xanh và 20 bi trắng, các viên bi kích thước và,chất liệu như nhau. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó, bạn Yên,lấy ngẫu nhiên một trong 49 viên bi còn lại. Tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên,lấy được một bi trắng(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (a) đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz,lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (() có,phương trình dạng $ax+by+cz-14=0.$ Tính tổng $T=a+b+c.$,Câu 3. Trong khối pha lẽ hình lập phương ABCD.A B'C'D' cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của,hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với,gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt,cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của,$a+b+c+d.$,,Câu 4. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1,y=x^4+x-1,x=-1,x=1$,(làm tròn đến hai chữ số thập phân),Câu 5. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy),trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(8;8;0).$ Góc,giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng & độ.,Khi đó, giá trị của & bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac z{-5}$ và $\Delta_1:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$,Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến,hàng đơn vị)?

Question

????????????? Câu 1. Một bình đựng 50 viên bi trong đó có 30 viên bi xanh và 20 bi trắng, các viên bi kích thước và,chất liệu như nhau. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó, bạn Yên,lấy ngẫu nhiên một trong 49 viên bi còn lại. Tính xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên,lấy được một bi trắng(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (a) đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz,lần lượt tại A, B, C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (() có,phương trình dạng $ax+by+cz-14=0.$ Tính tổng $T=a+b+c.$,Câu 3. Trong khối pha lẽ hình lập phương ABCD.A B'C'D' cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của,hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với,gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt,cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của,$a+b+c+d.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/241dd3933d89434b9b9a8824efc2d40f.jpg />,Câu 4. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1,y=x^4+x-1,x=-1,x=1$,(làm tròn đến hai chữ số thập phân),Câu 5. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy),trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(8;8;0).$ Góc,giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng & độ.,Khi đó, giá trị của & bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x+24}3=\frac{y-25}4=\frac z{-5}$ và $\Delta_1:\frac{x-26}5=\frac y3=\frac z4.$,Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ bằng a độ. Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến,hàng đơn vị)?

Accepted Answer

Câu 1.
Xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh là:
$$ P(Bình) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} $$

Sau khi bạn Bình đã lấy đi một bi xanh, trong bình còn lại 49 viên bi, trong đó có 29 viên bi xanh và 20 viên bi trắng.

Xác suất để bạn Yên lấy được một bi trắng từ 49 viên bi còn lại là:
$$ P(Yên) = \frac{20}{49} $$

Xác suất để cả hai sự kiện xảy ra (bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng) là:
$$ P(Bình \text{ và } Yên) = P(Bình) \times P(Yên) = \frac{3}{5} \times \frac{20}{49} = \frac{60}{245} \approx 0,2449 $$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm:
$$ 0,2449 \approx 0,24 $$

Vậy xác suất để bạn Bình lấy được một bi xanh và bạn Yên lấy được một bi trắng là:
$$ \boxed{0,24} $$

Câu 2.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C trên các trục Ox, Oy, Oz:
   - Điểm A nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của A là $(a, 0, 0)$.
   - Điểm B nằm trên trục Oy, do đó tọa độ của B là $(0, b, 0)$.
   - Điểm C nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của C là $(0, 0, c)$.

2. Xác định điều kiện để M là trực tâm tam giác ABC:
   - M là trực tâm tam giác ABC, tức là các đường cao từ M đến các cạnh của tam giác ABC vuông góc với các cạnh đó.
   - Đường thẳng MA vuông góc với BC, đường thẳng MB vuông góc với AC, và đường thẳng MC vuông góc với AB.

3. Tìm điều kiện vuông góc:
   - Vector $\overrightarrow{MA} = (a-1, -2, -3)$.
   - Vector $\overrightarrow{MB} = (-1, b-2, -3)$.
   - Vector $\overrightarrow{MC} = (-1, -2, c-3)$.
   - Vector $\overrightarrow{BC} = (0, -b, c)$.
   - Vector $\overrightarrow{AC} = (-a, 0, c)$.
   - Vector $\overrightarrow{AB} = (-a, b, 0)$.

Các điều kiện vuông góc:
   - $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$: $(a-1) \cdot 0 + (-2) \cdot (-b) + (-3) \cdot c = 0 \Rightarrow 2b - 3c = 0$.
   - $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$: $(-1) \cdot (-a) + (b-2) \cdot 0 + (-3) \cdot c = 0 \Rightarrow a - 3c = 0$.
   - $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$: $(-1) \cdot (-a) + (-2) \cdot b + (c-3) \cdot 0 = 0 \Rightarrow a - 2b = 0$.

4. Giải hệ phương trình:
   Ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   2b - 3c = 0 \
   a - 3c = 0 \
   a - 2b = 0
   \end{cases}
   $$

Từ phương trình thứ hai: $a = 3c$.
   Thay vào phương trình thứ ba: $3c - 2b = 0 \Rightarrow b = \frac{3c}{2}$.
   Thay vào phương trình thứ nhất: $2 \left(\frac{3c}{2}\right) - 3c = 0 \Rightarrow 3c - 3c = 0$ (luôn đúng).

Vậy $a = 3c$, $b = \frac{3c}{2}$.

5. Xác định phương trình mặt phẳng:
   Mặt phẳng có phương trình $ax + by + cz - 14 = 0$. Thay $a = 3c$, $b = \frac{3c}{2}$ vào phương trình:
   $$
   3cx + \frac{3c}{2}y + cz - 14 = 0
   $$
   Chia cả phương trình cho $c$ (với $c \neq 0$):
   $$
   3x + \frac{3}{2}y + z - \frac{14}{c} = 0
   $$

Để phương trình này đúng với mọi $c$, ta chọn $c = 2$ (để đơn giản hóa):
   $$
   3x + \frac{3}{2}y + z - 7 = 0 \Rightarrow 6x + 3y + 2z - 14 = 0
   $$

Vậy $a = 6$, $b = 3$, $c = 2$.

6. Tính tổng $T = a + b + c$:
   $$
   T = 6 + 3 + 2 = 11
   $$

Đáp số: $T = 11$.

Câu 3.
Để tìm giá trị của $a + b + c + d$ trong phương trình mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
   - Mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm.
   - Vì vậy, tâm của mặt cầu nằm ở giữa khối lập phương, cách mỗi mặt 1 cm.
   - Tâm của mặt cầu sẽ là điểm $(4, 4, 4)$ (vì cạnh lập phương là 8 cm, tâm cách mỗi mặt 1 cm nên tâm cách mỗi đỉnh là 4 cm).
   - Bán kính của mặt cầu là 3 cm (vì tâm cách mỗi mặt 1 cm và cạnh lập phương là 8 cm).

2. Viết phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm $(h, k, l)$ và bán kính $r$ là:
     $$
     (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
     $$
   - Thay tâm $(4, 4, 4)$ và bán kính $3$ vào phương trình:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 3^2
     $$
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
     $$

3. Chuyển đổi phương trình về dạng tổng quát:
   - Mở rộng phương trình:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
     $$
     $$
     x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 48 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 39 = 0
     $$

4. So sánh với phương trình tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$:
   - Ta thấy rằng:
     $$
     2a = -8 \implies a = -4
     $$
     $$
     2b = -8 \implies b = -4
     $$
     $$
     2c = -8 \implies c = -4
     $$
     $$
     d = 39
     $$

5. Tính giá trị của $a + b + c + d$:
   $$
   a + b + c + d = -4 + (-4) + (-4) + 39 = 27
   $$

Vậy giá trị của $a + b + c + d$ là $\boxed{27}$.

Câu 4.
Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng cách giữa hai đường cong:
   Ta cần tìm khoảng cách giữa hai đường $ y = x^2 + x - 1 $ và $ y = x^4 + x - 1 $. Khoảng cách này là:
   $$
   f(x) = (x^2 + x - 1) - (x^4 + x - 1) = x^2 - x^4
   $$

2. Tính diện tích bằng tích phân:
   Diện tích $ A $ của hình phẳng giới hạn bởi các đường trên từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ là:
   $$
   A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx
   $$

3. Tính tích phân:
   Ta tính từng phần của tích phân:
   $$
   \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
   $$
   $$
   \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}
   $$

Do đó:
   $$
   A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}
   $$

4. Làm tròn kết quả:
   $$
   A \approx 0.27
   $$

Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + x - 1 $, $ y = x^4 + x - 1 $, $ x = -1 $, và $ x = 1 $ là $ 0.27 $ (đơn vị diện tích).

Câu 5.
Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB:
   Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (8-3, 8+2, 0-3) = (5, 10, -3)
   $$

2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy):
   Mặt phẳng (Oxy) có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$.

3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy):
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|}
   $$
   Trong đó:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 5 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = -3
   $$
   $$
   |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|-3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}}
   $$

4. Tính góc $\theta$:
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right)
   $$
   Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx 74^\circ
   $$

Vậy giá trị của $\theta$ là 74 độ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp số: $\theta = 74^\circ$.

Câu 6.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình: $\frac{x+24}{3} = \frac{y-25}{4} = \frac{z}{-5}$. 
     Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$.
   - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình: $\frac{x-26}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$.
     Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{7}{(5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})} = \frac{7}{50}
   $$

5. Tính góc $\theta$:
   $$
   \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{50}\right)
   $$

6. Lấy giá trị của góc $\theta$ và làm tròn đến hàng đơn vị:
   $$
   \theta \approx 81^\circ
   $$

Vậy giá trị của góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $81^\circ$.