Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất để giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ trong tổ gồm 6 học sinh nữ và 4 học sinh nam được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Bước 1: Tính tổng số cách xếp 10 học sinh Số cách xếp 10 học sinh là: \[ 10! = 3628800 \] Bước 2: Xét trường hợp giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ - Đầu tiên, chúng ta xếp 4 bạn nam vào 4 vị trí bất kỳ trong 10 vị trí. Số cách xếp 4 bạn nam vào 10 vị trí là: \[ \binom{10}{4} \times 4! = 210 \times 24 = 5040 \] - Sau khi đã xếp 4 bạn nam, chúng ta còn lại 6 vị trí cho 6 bạn nữ. Chúng ta cần đảm bảo rằng giữa mỗi cặp nam liên tiếp có đúng 2 bạn nữ. Điều này có nghĩa là chúng ta cần chèn 2 bạn nữ vào mỗi khoảng giữa 2 bạn nam liên tiếp. Bước 3: Chia các bạn nữ vào các khoảng - Giả sử chúng ta đã xếp 4 bạn nam vào 4 vị trí. Chúng ta sẽ có 5 khoảng trống (trước, giữa và sau các bạn nam). Chúng ta cần chèn 2 bạn nữ vào mỗi khoảng giữa 2 bạn nam liên tiếp. Điều này có nghĩa là chúng ta cần chia 6 bạn nữ vào 3 khoảng giữa 2 bạn nam liên tiếp và 2 khoảng còn lại (trước và sau các bạn nam). - Số cách chia 6 bạn nữ vào 3 khoảng giữa 2 bạn nam liên tiếp là: \[ \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 15 \times 6 \times 1 = 90 \] - Số cách xếp 6 bạn nữ vào 6 vị trí còn lại là: \[ 6! = 720 \] Bước 4: Tính xác suất - Tổng số cách xếp sao cho giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ là: \[ 5040 \times 90 \times 720 = 326592000 \] - Xác suất là: \[ \frac{326592000}{3628800} = \frac{90}{1} = \frac{90}{1} \] Bước 5: Tìm $T = 2a + b$ - Ta có $\frac{a}{b} = \frac{90}{1}$, suy ra $a = 90$ và $b = 1$. - Vậy $T = 2a + b = 2 \times 90 + 1 = 181$. Đáp số: $T = 181$. Câu 1. Để tìm tọa độ các tiêu điểm và tiêu cự của elip $(E):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Ta thấy rằng $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ có dạng chuẩn của phương trình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - Từ đó suy ra $a^2 = 64$ và $b^2 = 36$. - Do đó, $a = 8$ và $b = 6$. 2. Xác định trục lớn và trục nhỏ: - Vì $a > b$, nên trục lớn nằm trên trục hoành và trục nhỏ nằm trên trục tung. 3. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Theo công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm của elip: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \] 4. Xác định tọa độ các tiêu điểm: - Các tiêu điểm nằm trên trục lớn, tức là trục hoành, cách tâm elip một khoảng $c$. - Tọa độ các tiêu điểm là $F_1(-c, 0)$ và $F_2(c, 0)$. - Thay giá trị của $c$ vào: \[ F_1(-2\sqrt{7}, 0) \quad \text{và} \quad F_2(2\sqrt{7}, 0) \] 5. Tính tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$. - Thay giá trị của $c$ vào: \[ 2c = 2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7} \] Kết luận: - Tọa độ các tiêu điểm của elip là $F_1(-2\sqrt{7}, 0)$ và $F_2(2\sqrt{7}, 0)$. - Tiêu cự của elip là $4\sqrt{7}$. Câu 2. Để tìm tọa độ các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol $(H):\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}9=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của hypebol: - Ta thấy rằng hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho, ta nhận thấy $a^2 = 36$ và $b^2 = 9$. - Do đó, $a = 6$ và $b = 3$. 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Theo công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm của hypebol, ta có: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] - Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức: \[ c = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 3. Xác định tọa độ các tiêu điểm: - Vì hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, các tiêu điểm nằm trên trục hoành (trục $x$). - Tọa độ các tiêu điểm là $(\pm c, 0)$. - Thay giá trị của $c$ vào, ta có tọa độ các tiêu điểm là: \[ (\pm 3\sqrt{5}, 0) \] 4. Tìm tiêu cự của hypebol: - Tiêu cự của hypebol là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$. - Thay giá trị của $c$ vào, ta có: \[ 2c = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \] Kết luận: - Tọa độ các tiêu điểm của hypebol là $(3\sqrt{5}, 0)$ và $(-3\sqrt{5}, 0)$. - Tiêu cự của hypebol là $6\sqrt{5}$. Câu 3. Để tìm tọa độ các tiêu điểm và đường chuẩn của parabol $(P): y^2 = 8x$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của parabol: Phương trình $y^2 = 8x$ có dạng chuẩn của parabol mở ra bên phải, với đỉnh tại gốc tọa độ $(0, 0)$. 2. Tìm tiêu cự (c): Phương trình chuẩn của parabol mở ra bên phải là $y^2 = 4ax$. So sánh với phương trình đã cho $y^2 = 8x$, ta có: \[ 4a = 8 \implies a = 2 \] Vậy tiêu cự $c = a = 2$. 3. Tìm tọa độ tiêu điểm: Tiêu điểm của parabol $y^2 = 4ax$ nằm tại $(a, 0)$. Do đó, tiêu điểm của parabol $(P)$ là: \[ F(2, 0) \] 4. Tìm phương trình đường chuẩn: Đường chuẩn của parabol $y^2 = 4ax$ là đường thẳng $x = -a$. Do đó, đường chuẩn của parabol $(P)$ là: \[ x = -2 \] Kết luận: - Tọa độ tiêu điểm của parabol $(P)$ là $F(2, 0)$. - Phương trình đường chuẩn của parabol $(P)$ là $x = -2$. Câu 4. Bình có 35 viên bi trong đó có 17 viên bi màu Xanh và 18 viên bi màu hồng. Để biết Bình có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi để chơi, ta thực hiện các bước sau: 1. Tổng số viên bi: Bình có tổng cộng 35 viên bi. 2. Số cách chọn 1 viên bi: Mỗi viên bi đều có thể được chọn riêng lẻ, do đó số cách chọn 1 viên bi từ 35 viên bi là 35 cách. Vậy, Bình có 35 cách để chọn 1 viên bi để chơi. Đáp số: 35 cách. Câu 5. a) Số lập số tự nhiên có 3 chữ số là: $8\times 8\times 8=512$ (số) b) Số lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là: $8\times 7\times 6\times 5=1680$ (số) c) Số lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 là: $4\times 7\times 6\times 5\times 4=3360$ (số) d) Số lập số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là: $8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320$ (số) Câu 6. Để tìm hệ số chứa \( x^{13} \) trong khai triển của \( (3x - 1)^{15} \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 3x \), \( b = -1 \), và \( n = 15 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^{13} \). Xét một hạng tử trong khai triển: \[ \binom{15}{k} (3x)^{15-k} (-1)^k \] Ta cần \( (3x)^{15-k} \) có dạng \( x^{13} \), tức là: \[ 15 - k = 13 \] \[ k = 2 \] Thay \( k = 2 \) vào hạng tử: \[ \binom{15}{2} (3x)^{13} (-1)^2 \] Tính toán các thành phần: \[ \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] \[ (3x)^{13} = 3^{13} x^{13} \] \[ (-1)^2 = 1 \] Nhân các thành phần lại: \[ 105 \times 3^{13} \times x^{13} \times 1 = 105 \times 3^{13} x^{13} \] Vậy hệ số của \( x^{13} \) là: \[ 105 \times 3^{13} \] Đáp số: \( 105 \times 3^{13} \) Câu 7. Tổng số viên bi trong hộp là: \[ 4 + 4 + 2 = 10 \text{ viên bi} \] Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 10 viên bi là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \text{ cách} \] Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng là: \[ C_{2}^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1 \text{ cách} \] Xác suất để lấy ra được 2 viên bi vàng là: \[ P = \frac{\text{số cách chọn 2 viên bi vàng}}{\text{số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi}} = \frac{1}{45} \] Đáp số: \(\frac{1}{45}\) Câu 8. Để viết phương trình chính tắc của elip, ta cần xác định các thông số của elip từ dữ liệu đã cho. 1. Xác định bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b): - Elip có chiều rộng là 12m, do đó bán trục lớn \(a\) sẽ là: \[ a = \frac{12}{2} = 6 \text{ m} \] - Elip có chiều cao là 5m, do đó bán trục nhỏ \(b\) sẽ là: \[ b = 5 \text{ m} \] 2. Viết phương trình chính tắc của elip: Phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Thay \(a = 6\) và \(b = 5\) vào phương trình trên, ta được: \[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1 \]