Giúp mình với! TRƯỜNG THPT SƠN TÂY ĐỀ THI THỬ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT (LẦN 2),NĂM HỌC 2023 - 2024,Môn thi: TOÁN,Thời gian làm bài: 120 phút,Bài I ( 2,0 điểm ),Cho hai biểu thức $A=\frac x{x-1}+\frac1{\sqrt x-1}$ và $B=\frac x{x+\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x e1.$,a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=4.$,b) Rút gọn biểu thức $M=A.B.$,c) Khi $x1$ hãy so sánh giá trị biểu thức M với 1.,Bài II ( 2,0 điểm ),1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:,Tuần trước, Khuê mua 1 kg táo và 1 kg cam ở siêu thị hết 130 nghìn đồng. Hôm nay, Khuê quay lại,siêu thị mua cùng lượng hoa quả như vậy nhưng phải trả 154 nghìn đồng. Người bán hàng giải thích giá cam,đã tăng 15% và giá táo đã tăng 20% so với tuần trước. Hỏi giá tiền mỗi kg táo và cam ngày hôm nay là bao,nhiêu nghìn đồng.,2) Quả bóng rổ size 7 có đường kính 24,5 cm. Tính diện tích bề mặt quả,,bóng rổ đó ( lấy $\pi\approx3,14).$,Bài III (2,5 điểm ),1) Giải hệ phương trình $sau\left\{\begin{array}lx+\frac1y=3\2x-\frac1y=3\end{array} ight..$,2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $d:~y=2x+|m|+1$,( m là tham số ).,a) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.,b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ ( với $x_1

Question

Giúp mình với! TRƯỜNG THPT SƠN TÂY ĐỀ THI THỬ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT (LẦN 2),NĂM HỌC 2023 - 2024,Môn thi: TOÁN,Thời gian làm bài: 120 phút,Bài I ( 2,0 điểm ),Cho hai biểu thức $A=\frac x{x-1}+\frac1{\sqrt x-1}$ và $B=\frac x{x+\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x e1.$,a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=4.$,b) Rút gọn biểu thức $M=A.B.$,c) Khi $x>1$ hãy so sánh giá trị biểu thức M với 1.,Bài II ( 2,0 điểm ),1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:,Tuần trước, Khuê mua 1 kg táo và 1 kg cam ở siêu thị hết 130 nghìn đồng. Hôm nay, Khuê quay lại,siêu thị mua cùng lượng hoa quả như vậy nhưng phải trả 154 nghìn đồng. Người bán hàng giải thích giá cam,đã tăng 15% và giá táo đã tăng 20% so với tuần trước. Hỏi giá tiền mỗi kg táo và cam ngày hôm nay là bao,nhiêu nghìn đồng.,2) Quả bóng rổ size 7 có đường kính 24,5 cm. Tính diện tích bề mặt quả,

,bóng rổ đó ( lấy $\pi\approx3,14).$,Bài III (2,5 điểm ),1) Giải hệ phương trình $sau\left\{\begin{array}lx+\frac1y=3\2x-\frac1y=3\end{array} ight..$,2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $d:~y=2x+|m|+1$,( m là tham số ).,a) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.,b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ ( với $x_1

Accepted Answer

Bài I (2.0 điểm)

Cho hai biểu thức $A = \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1}$ và $B = \frac{x}{x+\sqrt{x}+1}$ với $x \geq 0, x eq 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=4$.

Thay $x=4$ vào biểu thức B, ta có:

$B = \frac{4}{4+\sqrt{4}+1} = \frac{4}{4+2+1} = \frac{4}{7}$

b) Rút gọn biểu thức $M = A.B$

$A = \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} = \frac{x}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{x - \sqrt{x} - 1}{x-1}$

$M = A.B = \frac{x-\sqrt{x}-1}{x-1} . \frac{x}{x+\sqrt{x}+1} = \frac{x(x-\sqrt{x}-1)}{(x-1)(x+\sqrt{x}+1)} = \frac{x(x-\sqrt{x}-1)}{x^2-(\sqrt{x}+1)^2+x+\sqrt{x}+1} = \frac{x(x-\sqrt{x}-1)}{x^2-x-2\sqrt{x}-1+x+\sqrt{x}+1}= \frac{x(x-\sqrt{x}-1)}{x^2-\sqrt{x}}$

c) Khi $x > 1$ hãy so sánh giá trị biểu thức M với 1.

Khi $x>1$, ta có $x - \sqrt{x} - 1 < x-\sqrt{x}$ và $x - 1 > 0$

$M = \frac{x(x-\sqrt{x}-1)}{(x-1)(x+\sqrt{x}+1)}$

Bài II (2.0 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Tuần trước, Khuê mua 1 kg táo và 1 kg cam ở siêu thị hết 130 nghìn đồng. Hôm nay, Khuê quay lại siêu thị mua cùng lượng hoa quả như vậy nhưng phải trả 154 nghìn đồng. Người bán hàng giải thích giá cam đã tăng 15% và giá táo đã tăng 20% so với tuần trước. Hỏi giá tiền mỗi kg táo và cam ngày hôm nay là bao nhiêu nghìn đồng.

Gọi giá táo tuần trước là $x$ (nghìn đồng) và giá cam tuần trước là $y$ (nghìn đồng). Ta có:

$x + y = 130$ (1)

Giá táo hôm nay là $1.2x$, giá cam hôm nay là $1.15y$.

$1.2x + 1.15y = 154$ (2)

Từ (1) suy ra $y = 130-x$. Thay vào (2), ta có:

$1.2x + 1.15(130-x) = 154$

$1.2x + 149.5 - 1.15x = 154$

$0.05x = 4.5$

$x = 90$

$y = 130 - 90 = 40$

Giá táo hôm nay là $1.2 imes 90 = 108$ nghìn đồng.

Giá cam hôm nay là $1.15 imes 40 = 46$ nghìn đồng.

2) Quả bóng rổ size 7 có đường kính 24.5 cm. Tính diện tích bề mặt quả bóng rổ (lấy $\pi \approx 3.14$).

Bán kính quả bóng rổ là $r = \frac{24.5}{2} = 12.25$ $cm$

Diện tích bề mặt quả bóng rổ là $S = 4\pi r^2 = 4 imes 3.14 imes (12.25)^2 = 1885.74 $ cm$^2$

Bài III:

1) Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x + \frac{1}{y} = 3 \ 2x - \frac{1}{y} = 3 \end{cases}$

Cộng hai phương trình vế theo vế, ta được: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $2 + \frac{1}{y} = 3 \Rightarrow \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (2;1)$.

2)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$:

$x^2 = 2x + |m| + 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - |m| - 1 = 0$ (*)

$\Delta' = (-1)^2 - (-|m| - 1) = 1 + |m| + 1 = |m| + 2 > 0$ với mọi $m$

Vì $\Delta' > 0$ nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng $d$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi $x_1, x_2$ là hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$. Theo Vi-ét ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \ x_1x_2 = -|m| - 1 \end{cases}$

Vì $x_1 < x_2$ nên $|x_1| + |x_2| - |x_1| = 8 \Leftrightarrow |x_2| = 8$

$\Rightarrow x_2 = 8$ hoặc $x_2 = -8$

* Nếu $x_2 = 8$ thì $x_1 = 2 - 8 = -6$. Thay vào $x_1x_2 = -|m| - 1$, ta được: $(-6).8 = -|m| - 1 \Leftrightarrow -48 = -|m| - 1 \Leftrightarrow |m| = 47 \Leftrightarrow m = \pm 47$.

* Nếu $x_2 = -8$ thì $x_1 = 2 - (-8) = 10 > x_2$, trái với giả thiết $x_1 < x_2$.

Vậy $m = \pm 47$.

Bài IV:

a) Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\angle MAO = \angle MBO = 90^\circ$.

Do đó, tứ giác $MAOB$ có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.

b) Vì $AC // MB$, mà MB $\perp$ OB nên AC $\perp$ OB. Do đó, $AC$ là đường kính của $(O)$.

Vậy $\angle ADC = 90^\circ$ hay AD $\perp$ MC.

Trong tam giác vuông $MAC$ có $MD$ là đường cao nên $MA^2 = MD.MC$.

Vì $AC // MB$ nên $\angle MCA = \angle CMB$ (so le trong).

Mặt khác $\angle CMB = \angle CAB$ (cùng chắn cung BC) và $\angle CAB = \angle CDB$ (cùng chắn cung BC)

Do đó $\angle MCA = \angle CDB$, hay $\angle MDA = \angle CDB$.

Vì $MB$ là tiếp tuyến nên $\angle MBA = \angle BDA$. Do đó, $\angle BDM = \angle ADB$.

c) Vì F đối xứng với D qua MO nên $OF = OD = R$, hay $F$ thuộc $(O)$.

Ta có $\angle MHF = 90^\circ$ (do MH $\perp$ MO) và $\angle MDF = 90^\circ$ (do MD $\perp$ MC).

Mà H thuộc MO nên $\angle MHF = \angle MDF$, hay $\angle CHF = 180^\circ - \angle CDF = 180^\circ - \angle CBF$.

Mặt khác $\angle CBF = \angle CAF$ (cùng chắn cung CF).

Do đó $\angle CHF + \angle CAF = 180^\circ$.

Suy ra tứ giác ACHF nội tiếp.

Mà AC là đường kính nên $\angle AFC = 90^\circ$, hay CF $\perp$ AF.

Mặt khác $\angle CAB = \angle CDB$ nên $\angle CAH = \angle CDH = \angle CFH$.

Do đó $\angle CAH + \angle ACH = 90^\circ$.

Vậy $CF$ trùng $CH$, hay $C, H, F$ thẳng hàng.

Ta có: $a+b \le 2\sqrt{2}$.

$P = \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{5}{ab} + ab$.

Ta có: $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab \le (2\sqrt{2})^2 - 2ab = 8-2ab$.

$P \ge \frac{1}{8-2ab} + \frac{5}{ab} + ab$.

Đặt $ab=t$. Do $a, b > 0$ và $a+b \le 2\sqrt{2}$ nên $0

Suy ra $0

Khi đó $P \ge \frac{1}{8-2t} + \frac{5}{t}+t = f(t)$.

$f'(t) = \frac{2}{(8-2t)^2} - \frac{5}{t^2} + 1 = \frac{2}{(8-2t)^2} + 1 - \frac{5}{t^2}$.

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{(8-2t)^2} + 1 - \frac{5}{t^2} = 0$.

Khi $t=1$, $f(1) = \frac{1}{8-2} + \frac{5}{1} + 1 = \frac{1}{6} + 5 + 1 = \frac{37}{6}$.

Khi $t=2$, $f(2) = \frac{1}{8-4}+\frac{5}{2}+2 = \frac{1}{4}+\frac{5}{2}+2 = \frac{1+10+8}{4} = \frac{19}{4} = \frac{57}{12}$.

$f(t) = \frac{1}{8-2t}+\frac{5}{t}+t \ge \frac{1}{8-2}+\frac{5}{2}+2=\frac{19}{4}$.

Khi $a=b=1$, $a+b=2 \le 2\sqrt{2}$ thỏa mãn.

$P = \frac{1}{1^2+1^2}+\frac{5}{1}+1 = \frac{1}{2}+5+1 = \frac{13}{2}$.

Xét $g(t) = \frac{1}{8-2t} + \frac{5}{t} + t$.

$g'(t) = \frac{2}{(8-2t)^2} - \frac{5}{t^2} + 1$.

$g'(t)=0 \Rightarrow \frac{2}{(8-2t)^2} + 1 = \frac{5}{t^2}$.

Khi $a=b=1$ thì $P = \frac{1}{2}+5+1 = \frac{13}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{19}{4}$ khi $a=b=\sqrt{2}$.