Giúp mik vs 2: Cho một vật đang chuyển động thẳng đều với vận tốc bằng 108 (km/h) thì đi vào vùng có lực cản,gây ra cho vật một gia tốc $a=-0,5v~(m/s^2)$ với v là vận tốc của vật và tính bằng m/s. Trong bài,toán ta có vận tốc $v0$ và gốc thời gian tính từ lúc vật bắt đầu đi vào vùng có lực càn.,$a)~\ln|v(t)|$ đạo hàm theo biến thời gian t cho ta biểu thức là: $\frac{v^\prime(t)}{v(t)}.$,b) Biểu thức vận tốc của vật là: $v(t)=e^{-0,5t}(m/s).$,116

Question

Giúp mik vs 2: Cho một vật đang chuyển động thẳng đều với vận tốc bằng 108 (km/h) thì đi vào vùng có lực cản,gây ra cho vật một gia tốc $a=-0,5v~(m/s^2)$ với v là vận tốc của vật và tính bằng m/s. Trong bài,toán ta có vận tốc $v>0$ và gốc thời gian tính từ lúc vật bắt đầu đi vào vùng có lực càn.,$a)~\ln|v(t)|$ đạo hàm theo biến thời gian t cho ta biểu thức là: $\frac{v^\prime(t)}{v(t)}.$,b) Biểu thức vận tốc của vật là: $v(t)=e^{-0,5t}(m/s).$,116

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và đơn vị
- Vận tốc ban đầu của vật là $ v_0 = 108 \text{ km/h} $.
- Đổi vận tốc này sang đơn vị $ \text{m/s} $:
$$ v_0 = 108 \times \frac{1000}{3600} = 30 \text{ m/s}. $$

Bước 2: Xác định phương trình vận tốc
- Gia tốc của vật là $ a = -0,5v $.
- Ta biết rằng gia tốc $ a $ là đạo hàm của vận tốc $ v $ theo thời gian $ t $:
$$ a = \frac{dv}{dt} = -0,5v. $$
- Đây là phương trình vi phân dạng riêng biệt:
$$ \frac{dv}{v} = -0,5 dt. $$

Bước 3: Giải phương trình vi phân
- Tích phân cả hai vế:
$$ \int \frac{dv}{v} = \int -0,5 dt. $$
- Kết quả tích phân:
$$ \ln |v| = -0,5t + C, $$
trong đó $ C $ là hằng số tích phân.

Bước 4: Xác định hằng số tích phân
- Tại thời điểm $ t = 0 $, vận tốc của vật là $ v_0 = 30 \text{ m/s} $:
$$ \ln |30| = C. $$
- Vậy:
$$ \ln |v| = -0,5t + \ln |30|. $$

Bước 5: Biểu thức vận tốc của vật
- Chuyển về dạng mũ:
$$ |v| = e^{-0,5t + \ln |30|} = e^{-0,5t} \cdot e^{\ln |30|} = 30e^{-0,5t}. $$
- Vì $ v > 0 $, ta có:
$$ v(t) = 30e^{-0,5t} \text{ (m/s)}. $$

Kết luận
Biểu thức vận tốc của vật là:
$$ v(t) = 30e^{-0,5t} \text{ (m/s)}. $$

Đáp số: $ v(t) = 30e^{-0,5t} \text{ (m/s)}. $