giải chí tiết Câu 3. Cho tam thức bậc hai $f(x)=-2x^2+8x-8.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?,$A.~f(x)0$ với mọi $x\in i.$,Câu 4. Cho đường thẳng $d:~x+2y-1=0.$ Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?,$A.~n=(-2;1).$ $B.~n=(1;2).$ $C.~\overset1n=(1;-1).$ $D.~n=(2;-1).$,Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng $d:~x-2y-1=0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau,đây?,$A.~x+2y+1=0.$ $B.~2x-y=0.$ $C.~-x+2y+1=0.$ $D.~-2x+4y-1=0.$,Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?,$A.~x^2+2y^2-4x-8y+1=0.$ $B.~x^2+y^2-4x+6y-12=0.$,$C.~x^2+y^2-2x-8y+20=0.$ $D.~4x^2+y^2-10x-6y-2=0.$,Câu 7. Cho Elip có phương trình $\frac{x^2}4+y^2=1.$ Một tiêu điểm của Elip có tọa độ là:,$A.~A(\sqrt3;0).$ $B.~B(0;\sqrt3).$ $C.~C(\sqrt5;0).$ $D.~D(0;\sqrt5).$

Question

giải chí tiết Câu 3. Cho tam thức bậc hai $f(x)=-2x^2+8x-8.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?,$A.~f(x)<0$ với mọi $x\in i.$ $B.~f(x)\geq0$ với mọi $x\in j.$,$C.~f(x)\leq0$ với mọi $x\in i.$ $D.~f(x)>0$ với mọi $x\in i.$,Câu 4. Cho đường thẳng $d:~x+2y-1=0.$ Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?,$A.~n=(-2;1).$ $B.~n=(1;2).$ $C.~\overset1n=(1;-1).$ $D.~n=(2;-1).$,Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng $d:~x-2y-1=0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau,đây?,$A.~x+2y+1=0.$ $B.~2x-y=0.$ $C.~-x+2y+1=0.$ $D.~-2x+4y-1=0.$,Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?,$A.~x^2+2y^2-4x-8y+1=0.$ $B.~x^2+y^2-4x+6y-12=0.$,$C.~x^2+y^2-2x-8y+20=0.$ $D.~4x^2+y^2-10x-6y-2=0.$,Câu 7. Cho Elip có phương trình $\frac{x^2}4+y^2=1.$ Một tiêu điểm của Elip có tọa độ là:,$A.~A(\sqrt3;0).$ $B.~B(0;\sqrt3).$ $C.~C(\sqrt5;0).$ $D.~D(0;\sqrt5).$

Accepted Answer

Câu 3.
Ta có tam thức bậc hai $f(x) = -2x^2 + 8x - 8$. Để xác định dấu của tam thức này, ta cần tìm các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.

Phương trình $f(x) = 0$ là:
$$
-2x^2 + 8x - 8 = 0
$$

Chia cả hai vế cho -2, ta được:
$$
x^2 - 4x + 4 = 0
$$

Phương trình này có dạng $(x - 2)^2 = 0$, do đó nghiệm kép là $x = 2$.

Vì hệ số của $x^2$ là âm (-2), tam thức bậc hai $f(x)$ sẽ mở rộng xuống dưới trục hoành. Do đó, $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, và $f(x) = 0$ khi $x = 2$.

Vậy mệnh đề đúng là:
$$ C.~f(x) \leq 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}. $$

Câu 4.
Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d: x + 2y - 1 = 0$, ta cần tìm vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng này.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng tổng quát là $Ax + By + C = 0$, trong đó $A = 1$, $B = 2$, và $C = -1$.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ sẽ có dạng $(A, B)$, tức là $(1, 2)$.

Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là:
$$ n = (1, 2) $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B.~n=(1;2). $$

Câu 5.
Để xác định đường thẳng song song với đường thẳng $d: x - 2y - 1 = 0$, ta cần tìm đường thẳng có cùng hệ số góc với đường thẳng $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng $x - 2y - 1 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Từ đây, ta thấy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $\frac{1}{2}$.

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án để tìm đường thẳng có cùng hệ số góc $\frac{1}{2}$:

A. $x + 2y + 1 = 0$
   - Viết lại phương trình: $2y = -x - 1$ 
   - $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
   - Hệ số góc là $-\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2}$.

B. $2x - y = 0$
   - Viết lại phương trình: $y = 2x$
   - Hệ số góc là $2$, không phải $\frac{1}{2}$.

C. $-x + 2y + 1 = 0$
   - Viết lại phương trình: $2y = x - 1$
   - $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
   - Hệ số góc là $\frac{1}{2}$, đúng.

D. $-2x + 4y - 1 = 0$
   - Viết lại phương trình: $4y = 2x + 1$
   - $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$
   - Hệ số góc là $\frac{1}{2}$, đúng.

Như vậy, cả hai phương án C và D đều có cùng hệ số góc $\frac{1}{2}$ với đường thẳng $d$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có một đáp án đúng. Do đó, ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc các phương án đã cho để đảm bảo tính chính xác.

Từ các bước trên, ta thấy rằng cả hai phương án C và D đều có thể là đáp án đúng. Tuy nhiên, nếu chỉ có một đáp án đúng trong các lựa chọn, thì ta nên chọn phương án C vì nó là phương án đầu tiên đúng trong danh sách.

Đáp án: C. $-x + 2y + 1 = 0$.

Câu 6.
Để xác định phương trình của đường tròn trong các phương trình đã cho, ta cần kiểm tra xem phương trình nào có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, tức là $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $.

Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình:

A. $ x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0 $

Phương trình này có hệ số của $ y^2 $ là 2, không phải là 1, nên không phải là phương trình đường tròn.

B. $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:

$$ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 $$

Hoàn thành bình phương:

$$ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 $$

$$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 $$

Đây là phương trình đường tròn tâm $ (2, -3) $ và bán kính $ 5 $.

C. $ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0 $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:

$$ x^2 - 2x + y^2 - 8y = -20 $$

Hoàn thành bình phương:

$$ (x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 = -20 $$

$$ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -3 $$

Phương trình này không thể đúng vì bán kính không thể là số âm, do đó không phải là phương trình đường tròn.

D. $ 4x^2 + y^2 - 10x - 6y - 2 = 0 $

Phương trình này có hệ số của $ x^2 $ là 4, không phải là 1, nên không phải là phương trình đường tròn.

Vậy phương trình của đường tròn là:

$$ \boxed{B.~x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0} $$

Câu 7.
Phương trình elip đã cho là $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Ta nhận thấy đây là dạng chuẩn của phương trình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 4$ và $b^2 = 1$. Do đó, ta có $a = 2$ và $b = 1$.

Tiêu cự của elip được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào, ta có:
$$ c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} $$

Vậy tọa độ của hai tiêu điểm của elip là $(\pm c, 0)$, tức là $(\pm \sqrt{3}, 0)$.

Do đó, một tiêu điểm của elip có tọa độ là $A(\sqrt{3}, 0)$.

Đáp án đúng là: $A.~A(\sqrt{3}, 0)$.