Tra lai dung sai cau 8 Câu 8: Cho hỉnh chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy, $SA=2a,~AB=a$,,a) Thể tích khối chóp SABCD bằng $\frac{2a^3}3.$,b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $\frac{2a}{\sqrt5}.$,$e)~[SC,(ABCD)]=54^044^0$,d) Số đo góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng 103,5" (làm tròn đến hàng phần chục).

Question

Tra lai dung sai cau 8 Câu 8: Cho hỉnh chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy, $SA=2a,~AB=a$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/3cbc1143b04f4d10bea041700773ade3.jpg />,a) Thể tích khối chóp SABCD bằng $\frac{2a^3}3.$,b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $\frac{2a}{\sqrt5}.$,$e)~[SC,(ABCD)]=54^044^0$,d) Số đo góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng 103,5" (làm tròn đến hàng phần chục).

Accepted Answer

Câu 8:
a) Ta có thể tích khối chóp SABCD là:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3} $$

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Vì SA vuông góc với đáy, nên khoảng cách này chính là chiều cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). Ta có:
$$ d(SA, BC) = \frac{SA \times AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \frac{2a \times a}{\sqrt{(2a)^2 + a^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{4a^2 + a^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{5a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} $$

c) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC trên (ABCD), tức là góc SAC. Ta có:
$$ \tan(\angle SAC) = \frac{SA}{AC} = \frac{2a}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$
Do đó:
$$ \angle SAC = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54^\circ 44' $$

d) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến SC. Ta có:
$$ \cos(\angle BSC) = \frac{BS^2 + CS^2 - BC^2}{2 \times BS \times CS} $$
Trong đó:
$$ BS = CS = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $$
$$ BC = a\sqrt{2} $$
Do đó:
$$ \cos(\angle BSC) = \frac{(a\sqrt{5})^2 + (a\sqrt{5})^2 - (a\sqrt{2})^2}{2 \times a\sqrt{5} \times a\sqrt{5}} = \frac{5a^2 + 5a^2 - 2a^2}{2 \times 5a^2} = \frac{8a^2}{10a^2} = \frac{4}{5} $$
Góc giữa hai mặt phẳng là:
$$ \angle BSC = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) \approx 36.87^\circ $$
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là:
$$ 180^\circ - 2 \times 36.87^\circ = 106.26^\circ \approx 106.3^\circ $$

Đáp số:
a) $\frac{2a^3}{3}$
b) $\frac{2a}{\sqrt{5}}$
c) $54^\circ 44'$
d) $106.3^\circ$