Giải hộ với Câu 19. Cho hàm số $y=2x^2-3x+2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C),a) tại điểm $M(1;1)$ thuộc (C).,b) tại điểm có hoành độ bằng $-2$ thuộc (C).,c) tại điểm có tung độ bằng 1 thuộc (C).,d) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -5.,e) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=3x-4.$,f) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=\frac23x-2.$

Question

Accepted Answer

Câu 19.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2x^2 - 3x + 2$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là $y = 2x^2 - 3x + 2$. Ta tính đạo hàm của nó:
$$ y' = 4x - 3 $$

Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(x_0, y_0)$ trên đồ thị là $y'(x_0)$.

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng:
$$ y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 $$

a) Tại điểm $M(1, 1)$ thuộc (C)
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1, 1)$ là:
$$ y'(1) = 4 \cdot 1 - 3 = 1 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1, 1)$ là:
$$ y = 1 \cdot (x - 1) + 1 $$
$$ y = x $$

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-2$ thuộc (C)
- Tính tung độ của điểm có hoành độ $-2$:
$$ y(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 2 = 8 + 6 + 2 = 16 $$
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(-2, 16)$ là:
$$ y'(-2) = 4 \cdot (-2) - 3 = -8 - 3 = -11 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-2, 16)$ là:
$$ y = -11 \cdot (x + 2) + 16 $$
$$ y = -11x - 22 + 16 $$
$$ y = -11x - 6 $$

c) Tại điểm có tung độ bằng 1 thuộc (C)
- Tìm hoành độ của điểm có tung độ bằng 1:
$$ 2x^2 - 3x + 2 = 1 $$
$$ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $$
Giải phương trình bậc hai này:
$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} $$
$$ x = 1 \text{ hoặc } x = \frac{1}{2} $$
- Tại điểm $(1, 1)$, ta đã tính ở phần a) phương trình tiếp tuyến là $y = x$.
- Tại điểm $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, hệ số góc của tiếp tuyến là:
$$ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 2 - 3 = -1 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ là:
$$ y = -1 \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right) + 1 $$
$$ y = -x + \frac{1}{2} + 1 $$
$$ y = -x + \frac{3}{2} $$

d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -5
- Tìm hoành độ của điểm mà hệ số góc của tiếp tuyến là -5:
$$ 4x - 3 = -5 $$
$$ 4x = -2 $$
$$ x = -\frac{1}{2} $$
- Tính tung độ của điểm có hoành độ $-\frac{1}{2}$:
$$ y\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 = 4 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ là:
$$ y = -5 \cdot \left(x + \frac{1}{2}\right) + 4 $$
$$ y = -5x - \frac{5}{2} + 4 $$
$$ y = -5x + \frac{3}{2} $$

e) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 3x - 4$
- Hệ số góc của tiếp tuyến là 3 (vì song song với đường thẳng $y = 3x - 4$):
$$ 4x - 3 = 3 $$
$$ 4x = 6 $$
$$ x = \frac{3}{2} $$
- Tính tung độ của điểm có hoành độ $\frac{3}{2}$:
$$ y\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = 2 \cdot \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{2} - \frac{9}{2} + 2 = 2 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ là:
$$ y = 3 \cdot \left(x - \frac{3}{2}\right) + 2 $$
$$ y = 3x - \frac{9}{2} + 2 $$
$$ y = 3x - \frac{5}{2} $$

f) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{2}{3}x - 2$
- Hệ số góc của tiếp tuyến là $-\frac{3}{2}$ (vì vuông góc với đường thẳng $y = \frac{2}{3}x - 2$):
$$ 4x - 3 = -\frac{3}{2} $$
$$ 4x = \frac{3}{2} $$
$$ x = \frac{3}{8} $$
- Tính tung độ của điểm có hoành độ $\frac{3}{8}$:
$$ y\left(\frac{3}{8}\right) = 2\left(\frac{3}{8}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{8}\right) + 2 = 2 \cdot \frac{9}{64} - \frac{9}{8} + 2 = \frac{18}{64} - \frac{72}{64} + \frac{128}{64} = \frac{74}{64} = \frac{37}{32} $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(\frac{3}{8}, \frac{37}{32}\right)$ là:
$$ y = -\frac{3}{2} \cdot \left(x - \frac{3}{8}\right) + \frac{37}{32} $$
$$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{16} + \frac{37}{32} $$
$$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{18}{32} + \frac{37}{32} $$
$$ y = -\frac{3}{2}x + \frac{55}{32} $$

Đáp số:
a) $y = x$
b) $y = -11x - 6$
c) $y = x$ và $y = -x + \frac{3}{2}$
d) $y = -5x + \frac{3}{2}$
e) $y = 3x - \frac{5}{2}$
f) $y = -\frac{3}{2}x + \frac{55}{32}$