Câu 4.
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định bán kính của đường tròn từ phương trình đã cho. Phương trình ban đầu là:
Chúng ta sẽ hoàn chỉnh bình phương cho phương trình này.
1. Hoàn chỉnh bình phương:
Ta thêm và bớt cùng một số để hoàn chỉnh bình phương:
2. Xác định bán kính:
Phương trình trên có dạng chuẩn của đường tròn , trong đó tâm là và bán kính là .
Do đó, bán kính của đường tròn là .
Đáp án: B. .
Câu 5.
Để tìm tiêu cự của elip có phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông số của elip:
- Elip có dạng chuẩn với .
- Từ phương trình , ta nhận thấy:
- Do đó:
2. Tính khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm (c):
- Công thức tính khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của elip là:
- Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
3. Tìm tiêu cự của elip:
- Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là :
Vậy tiêu cự của elip là 6.
Đáp án đúng là: B. 6
Câu 6.
Để lập được các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5 từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định các số có tận cùng là 0 hoặc 5:
- Các số chia hết cho 5 phải có tận cùng là 0 hoặc 5.
2. Lập các số có tận cùng là 0:
- Chữ số hàng chục có thể là 1, 2, 3, 4, 5 (không được lặp lại với chữ số hàng đơn vị).
- Số lượng các số có tận cùng là 0: 5 số (10, 20, 30, 40, 50).
3. Lập các số có tận cùng là 5:
- Chữ số hàng chục có thể là 1, 2, 3, 4 (không được lặp lại với chữ số hàng đơn vị).
- Số lượng các số có tận cùng là 5: 4 số (15, 25, 35, 45).
4. Tổng số các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
- Tổng số các số: 5 (số có tận cùng là 0) + 4 (số có tận cùng là 5) = 9 số.
Như vậy, từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được 9 số tự nhiên có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Đáp án: 9 số.
Câu 7.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn các nhóm ít nhất 2 người từ một nhóm 5 người. Chúng ta sẽ tính số cách chọn các nhóm có 2 người, 3 người, 4 người và 5 người.
1. Số cách chọn nhóm có 2 người:
2. Số cách chọn nhóm có 3 người:
3. Số cách chọn nhóm có 4 người:
4. Số cách chọn nhóm có 5 người:
Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các trường hợp này lại:
Vậy, số cách chọn các nhóm ít nhất 2 người từ một nhóm 5 người là 26.
Đáp án đúng là: B. 26.
Câu 8.
Để giải bài toán này, chúng ta cần sắp xếp 5 sách Văn và 7 sách Toán trên một kệ sách sao cho các sách Văn phải xếp kế nhau.
Bước 1: Xem nhóm 5 sách Văn như một nhóm duy nhất. Như vậy, chúng ta sẽ có 1 nhóm sách Văn và 7 sách Toán, tổng cộng là 8 "sách".
Bước 2: Số cách sắp xếp 8 "sách" này là:
Bước 3: Trong nhóm sách Văn, có 5 sách khác nhau, nên số cách sắp xếp 5 sách Văn trong nhóm là:
Bước 4: Tổng số cách sắp xếp cả hai nhóm là:
Vậy đáp án đúng là:
Do đó, lựa chọn đúng là:
C.
Đáp số: C.
Câu 9.
Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng không chứa trong khai triển của .
Công thức khai triển nhị thức Newton:
Trong trường hợp này, , , và . Ta sẽ viết khai triển của :
Ta sẽ tính từng số hạng:
1. Khi :
2. Khi :
3. Khi :
4. Khi :
Từ các số hạng trên, ta thấy rằng số hạng không chứa là số hạng khi , tức là 9.
Vậy đáp án đúng là:
B. 9
Câu 10.
Ta có khai triển .
So sánh với , ta nhận thấy:
-
-
-
-
Tổng .
Vậy đáp án đúng là B. 0.
Câu 11.
Để tính số phần tử của biến cố C "4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu", ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng số cách chọn 4 viên bi từ 24 viên bi:
Số cách chọn 4 viên bi từ 24 viên bi là:
2. Tìm số cách chọn 4 viên bi mà không đủ 3 màu:
- Chọn 4 viên bi cùng màu:
+ Chọn 4 viên bi đỏ:
+ Chọn 4 viên bi xanh:
+ Chọn 4 viên bi trắng:
- Tổng số cách chọn 4 viên bi cùng màu:
- Chọn 4 viên bi từ 2 màu bất kỳ:
+ Chọn 4 viên bi từ 6 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh:
+ Chọn 4 viên bi từ 6 viên bi đỏ và 10 viên bi trắng:
+ Chọn 4 viên bi từ 8 viên bi xanh và 10 viên bi trắng:
- Tổng số cách chọn 4 viên bi từ 2 màu bất kỳ:
- Tổng số cách chọn 4 viên bi mà không đủ 3 màu:
3. Tìm số cách chọn 4 viên bi mà có đủ 3 màu:
Do đó, số phần tử của biến cố C là 4450. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả này. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho.
Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
Câu 12.
Bộ bài 52 lá có 4 chất: bích, cơ, rô, tép. Mỗi chất có 13 lá bài.
Số lá bài bích trong bộ bài là 13 lá.
Xác suất để rút ngẫu nhiên một lá bài và được lá bài bích là:
Vậy đáp án đúng là: