Giuo mik voi 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $a,~SA\bot(ABC)$ và $SA=2a.$ Tính góc,nhị diện [A,SC,B]?

Question

Accepted Answer

Để tính góc nhị diện [A, SC, B], ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trực giao của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng (SAC) và (SBC) chung đường thẳng SC.
   - Ta cần tìm đường thẳng d trong mặt phẳng (SAC) vuông góc với SC và đường thẳng d' trong mặt phẳng (SBC) cũng vuông góc với SC.

2. Tìm trực giao của hai mặt phẳng:
   - Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ AC và SA ⊥ BC.
   - Mặt khác, AC ⊂ (ABC) và BC ⊂ (ABC).

3. Xác định trực giao của hai mặt phẳng:
   - Trong mặt phẳng (SAC), đường thẳng SA vuông góc với SC.
   - Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng SA cũng vuông góc với SC.

4. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và SB:
   - Xét tam giác đều ABC với cạnh a, ta có:
     $$
     AB = BC = CA = a
     $$
   - Vì SA ⊥ (ABC), nên tam giác SAB và SBC là các tam giác vuông tại A và B.
   - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB:
     $$
     SB^2 = SA^2 + AB^2 = (2a)^2 + a^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2
     $$
     $$
     SB = a\sqrt{5}
     $$

5. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và SB:
   - Gọi góc giữa SA và SB là góc α.
   - Ta có:
     $$
     \cos(\alpha) = \frac{SA}{SB} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
     $$
   - Vậy:
     $$
     \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)
     $$

6. Kết luận:
   - Góc nhị diện [A, SC, B] là góc giữa hai đường thẳng SA và SB, tức là:
     $$
     \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)
     $$

Đáp số: Góc nhị diện [A, SC, B] là $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$.