Câu 17. [3] Một người gửi tiết kiệm 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,5%/tháng theo hình thức lãi kép. Kể từ lúc gửi cứ sau 1 tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi tiêu (tháng cuối cùng nếu...

Gọi $A_0 = 700$ (triệu đồng) là số tiền gửi ban đầu.

Lãi suất hàng tháng là $r = 0.5\% = 0.005$.

Số tiền rút ra hàng tháng là $R = 10$ (triệu đồng).

Gọi $A_n$ là số tiền còn lại sau $n$ tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền còn lại là $A_1 = A_0(1+r) - R$.

Sau tháng thứ hai, số tiền còn lại là $A_2 = A_1(1+r) - R = (A_0(1+r) - R)(1+r) - R = A_0(1+r)^2 - R(1+r) - R$.

Sau tháng thứ ba, số tiền còn lại là $A_3 = A_2(1+r) - R = (A_0(1+r)^2 - R(1+r) - R)(1+r) - R = A_0(1+r)^3 - R(1+r)^2 - R(1+r) - R$.

Sau $n$ tháng, số tiền còn lại là $A_n = A_0(1+r)^n - R \sum_{k=0}^{n-1} (1+r)^k = A_0(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r}$.

Ta cần tìm $n$ sao cho $A_n = 0$.

$A_0(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0$

$A_0(1+r)^n = R \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

$A_0 r (1+r)^n = R (1+r)^n - R$

$R = (R - A_0 r) (1+r)^n$

$(1+r)^n = \frac{R}{R - A_0 r}$

Thay số vào:

$(1+0.005)^n = \frac{10}{10 - 700 \times 0.005} = \frac{10}{10 - 3.5} = \frac{10}{6.5} = \frac{20}{13}$

$1.005^n = \frac{20}{13} \approx 1.53846$

$n \ln(1.005) = \ln(\frac{20}{13})$

$n = \frac{\ln(\frac{20}{13})}{\ln(1.005)} = \frac{\ln(1.53846)}{\ln(1.005)} \approx \frac{0.43078}{0.0049875} \approx 86.37$

Vậy sau 87 tháng thì tài khoản hết tiền.

Tháng cuối cùng có thể không rút đủ 10 triệu, nên cần kiểm tra lại.

Sau 86 tháng, $A_{86} = 700 (1.005)^{86} - 10 \frac{(1.005)^{86} - 1}{0.005} \approx 700(1.536) - 10 \frac{1.536 - 1}{0.005} \approx 1075.2 - 10 \frac{0.536}{0.005} = 1075.2 - 10 (107.2) = 1075.2 - 1072 = 3.2$ triệu.

Sau tháng 87, $A_{87} = 3.2 (1.005) - 3.216 > 0 $

Sau tháng 87, $3.2 (1.005)-10 \approx -6.83$

Số tháng cần là $87$ .