Câu 17. [3] Một người gửi tiết kiệm 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,5%/tháng theo hình thức lãi kép. Kể từ lúc gửi cứ sau 1 tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi tiêu (tháng cuối cùng nếu tài khoản không đủ 10 triệu thì rút hết). Hỏi sau thời gian bao nhiêu tháng kể từ ngày gửi tiền, tài khoản tiền gửi của người đó về 0 đồng? (Giả sử dụng hiệu suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi tiết kiệm).Giúp mình với!

Question

Accepted Answer

Gọi $A_0 = 700$ (triệu đồng) là số tiền gửi ban đầu.

Lãi suất hàng tháng là $r = 0.5\% = 0.005$.

Số tiền rút ra hàng tháng là $R = 10$ (triệu đồng).

Gọi $A_n$ là số tiền còn lại sau $n$ tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền còn lại là $A_1 = A_0(1+r) - R$.

Sau tháng thứ hai, số tiền còn lại là $A_2 = A_1(1+r) - R = (A_0(1+r) - R)(1+r) - R = A_0(1+r)^2 - R(1+r) - R$.

Sau tháng thứ ba, số tiền còn lại là $A_3 = A_2(1+r) - R = (A_0(1+r)^2 - R(1+r) - R)(1+r) - R = A_0(1+r)^3 - R(1+r)^2 - R(1+r) - R$.

Sau $n$ tháng, số tiền còn lại là $A_n = A_0(1+r)^n - R \sum_{k=0}^{n-1} (1+r)^k = A_0(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r}$.

Ta cần tìm $n$ sao cho $A_n = 0$.

$A_0(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0$

$A_0(1+r)^n = R \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

$A_0 r (1+r)^n = R (1+r)^n - R$

$R = (R - A_0 r) (1+r)^n$

$(1+r)^n = \frac{R}{R - A_0 r}$

Thay số vào:

$(1+0.005)^n = \frac{10}{10 - 700 imes 0.005} = \frac{10}{10 - 3.5} = \frac{10}{6.5} = \frac{20}{13}$

$1.005^n = \frac{20}{13} \approx 1.53846$

$n \ln(1.005) = \ln(\frac{20}{13})$

$n = \frac{\ln(\frac{20}{13})}{\ln(1.005)} = \frac{\ln(1.53846)}{\ln(1.005)} \approx \frac{0.43078}{0.0049875} \approx 86.37$

Vậy sau 87 tháng thì tài khoản hết tiền.

Tháng cuối cùng có thể không rút đủ 10 triệu, nên cần kiểm tra lại.

Sau 86 tháng, $A_{86} = 700 (1.005)^{86} - 10 \frac{(1.005)^{86} - 1}{0.005} \approx 700(1.536) - 10 \frac{1.536 - 1}{0.005} \approx 1075.2 - 10 \frac{0.536}{0.005} = 1075.2 - 10 (107.2) = 1075.2 - 1072 = 3.2$ triệu.

Sau tháng 87, $A_{87} = 3.2 (1.005) - 3.216 > 0 $

Sau tháng 87, $3.2 (1.005)-10 \approx -6.83$

Số tháng cần là $87$ .

Câu 17. [3] Một người gửi tiết kiệm 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,5%/tháng theo hình thức lãi kép. Kể từ lúc gửi cứ sau 1 tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi tiêu (tháng cuối cùng nếu...