Bbbbalnmxjxnxx x d) Mặt cầu tâm A, bán kính bằng khoảng cách từ A đến (P) có phương trình,$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=6$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Tính thể tích V của phần vật thế giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3.$ . biết rằng khi cắt vật thể,bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành $d)~x~(1\leq x\leq3)$ thì được mặt cắt là một,hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2x.,Câu 2. Khi đặt hệ tọa độ Oxyzvào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một,không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên,mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6x+5=0.$ Khoáng cách,xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?,Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số: $y=x^3-x;y=2x$ và các đường thẳng,$x=1;x=-1.$,Câu 4. Một hộp có 5 bi đó và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên một viên bi thứ nhất rồi không trả lại, sau đó rút tiếp,viên bi thứ hai. Tính xác suất rút được một bi đỏ ở lần thứ hai; biết rằng lần thứ nhất đã rút được một bi đỏ. (Kết,quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).,Câu 5. Trong kì thì tốt nghiệp trung học phổ thông, trường THPT A có 60% học sinh lựa chọn khối D để xét,tuyển đại học. Biết rằng, nếu một học sinh lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7 còn nếu,học sinh không lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,8. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của,trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên. Tính xác suất học sinh đó chọn khối D ; biết học sinh này đã đỗ,đại học.,Câu 6. Một cánh buồm được mô tả giống như hình vẽ bên dưới, tính diện tích cánh buồm (k'tt ......

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $ x = 1 $ và $ x = 3 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích mặt cắt:
   - Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $ x $ (với $ 1 \leq x \leq 3 $), ta được mặt cắt là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $ 3x $ và $ 2x $.
   - Diện tích $ S(x) $ của mặt cắt này là:
     $$
     S(x) = 3x \times 2x = 6x^2
     $$

2. Tính thể tích V:
   - Thể tích V của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích mặt cắt $ S(x) $ từ $ x = 1 $ đến $ x = 3 $:
     $$
     V = \int_{1}^{3} S(x) \, dx = \int_{1}^{3} 6x^2 \, dx
     $$
   - Tính tích phân:
     $$
     \int_{1}^{3} 6x^2 \, dx = 6 \int_{1}^{3} x^2 \, dx = 6 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}
     $$
   - Đánh giá tích phân:
     $$
     6 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = 6 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 6 \left( \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \right) = 6 \left( 9 - \frac{1}{3} \right) = 6 \left( \frac{27 - 1}{3} \right) = 6 \times \frac{26}{3} = 52
     $$

Vậy thể tích V của phần vật thể là:
$$
V = 52
$$

Câu 2.
Để tìm khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng, chúng ta cần xác định bán kính của mặt cầu (S) từ phương trình đã cho.

Phương trình của mặt cầu (S) là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 $$

Ta thực hiện hoàn thành bình phương để viết lại phương trình dưới dạng chuẩn của mặt cầu.

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại:
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 6z) + 5 = 0 $$

2. Hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm:
$$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) + 5 - 1 - 4 - 9 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 - 9 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9 $$

Từ đây, ta nhận thấy phương trình chuẩn của mặt cầu là:
$$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 3^2 $$

Vậy tâm của mặt cầu là $I(1, 2, 3)$ và bán kính $R = 3$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng sẽ là đường kính của mặt cầu, tức là gấp đôi bán kính:
$$ 2R = 2 \times 3 = 6 \text{ km} $$

Vậy khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là 6 km.

Câu 3.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $ y = x^3 - x $, $ y = 2x $ và các đường thẳng $ x = 1 $, $ x = -1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định giao điểm của hai hàm số
Ta cần tìm các giao điểm của hai hàm số $ y = x^3 - x $ và $ y = 2x $.

$$
x^3 - x = 2x
$$

$$
x^3 - 3x = 0
$$

$$
x(x^2 - 3) = 0
$$

$$
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}
$$

Nhưng trong khoảng từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $, chỉ có giao điểm duy nhất là $ x = 0 $.

Bước 2: Xác định hàm số nào nằm trên và dưới
Trong khoảng từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $:
- Khi $ x = 0 $, cả hai hàm số đều có giá trị $ y = 0 $.
- Khi $ x > 0 $, $ y = 2x $ lớn hơn $ y = x^3 - x $.
- Khi $ x < 0 $, $ y = 2x $ nhỏ hơn $ y = x^3 - x $.

Do đó, trong khoảng từ $ x = -1 $ đến $ x = 0 $, hàm số $ y = x^3 - x $ nằm trên và hàm số $ y = 2x $ nằm dưới.
Trong khoảng từ $ x = 0 $ đến $ x = 1 $, hàm số $ y = 2x $ nằm trên và hàm số $ y = x^3 - x $ nằm dưới.

Bước 3: Tính diện tích
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số lớn hơn và hàm số nhỏ hơn trong mỗi khoảng.

$$
A = \int_{-1}^{0} [(x^3 - x) - 2x] \, dx + \int_{0}^{1} [2x - (x^3 - x)] \, dx
$$

$$
A = \int_{-1}^{0} (x^3 - 3x) \, dx + \int_{0}^{1} (3x - x^3) \, dx
$$

Tính từng tích phân:

$$
\int_{-1}^{0} (x^3 - 3x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right]_{-1}^{0}
$$

$$
= \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{3(-1)^2}{2} \right)
$$

$$
= 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right)
$$

$$
= 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} \right)
$$

$$
= 0 - \left( -\frac{5}{4} \right)
$$

$$
= \frac{5}{4}
$$

$$
\int_{0}^{1} (3x - x^3) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}
$$

$$
= \left( \frac{3(1)^2}{2} - \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( 0 - 0 \right)
$$

$$
= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)
$$

$$
= \left( \frac{6}{4} - \frac{1}{4} \right)
$$

$$
= \frac{5}{4}
$$

Bước 4: Tổng diện tích
$$
A = \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
$$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $ y = x^3 - x $, $ y = 2x $ và các đường thẳng $ x = 1 $, $ x = -1 $ là:

$$
\boxed{\frac{5}{2}}
$$

Câu 4.
Sau khi rút ra một viên bi đỏ đầu tiên, trong hộp còn lại 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh, tổng cộng là 7 viên bi.

Xác suất để rút được một viên bi đỏ ở lần thứ hai, biết rằng lần thứ nhất đã rút được một viên bi đỏ, là:

$$
P(\text{bi đỏ lần thứ hai} | \text{bi đỏ lần thứ nhất}) = \frac{\text{số bi đỏ còn lại}}{\text{tổng số bi còn lại}} = \frac{4}{7}
$$

Chuyển phân số này thành số thập phân và làm tròn đến hai chữ số thập phân:

$$
\frac{4}{7} \approx 0.57
$$

Vậy xác suất rút được một viên bi đỏ ở lần thứ hai, biết rằng lần thứ nhất đã rút được một viên bi đỏ, là 0.57.

Câu 5.
Gọi $ A $ là biến cố "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên và học sinh đó đã đỗ đại học".
Gọi $ B $ là biến cố "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên và học sinh đó đã chọn khối D".
Theo đề bài, ta có:
- Xác suất để một học sinh lựa chọn khối D là $ P(B) = 0,6 $.
- Xác suất để một học sinh không lựa chọn khối D là $ P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 0,4 $.
- Xác suất để một học sinh đỗ đại học nếu học sinh đó đã chọn khối D là $ P(A|B) = 0,7 $.
- Xác suất để một học sinh đỗ đại học nếu học sinh đó không chọn khối D là $ P(A|\bar{B}) = 0,8 $.

Ta cần tính xác suất $ P(B|A) $, tức là xác suất học sinh đó đã chọn khối D, biết học sinh này đã đỗ đại học.

Áp dụng công thức xác suất tổng và xác suất có điều kiện, ta có:
$$ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B}) $$
$$ P(A) = 0,7 \times 0,6 + 0,8 \times 0,4 $$
$$ P(A) = 0,42 + 0,32 $$
$$ P(A) = 0,74 $$

Bây giờ, áp dụng công thức Bayes để tính $ P(B|A) $:
$$ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} $$
$$ P(B|A) = \frac{0,7 \times 0,6}{0,74} $$
$$ P(B|A) = \frac{0,42}{0,74} $$
$$ P(B|A) = \frac{21}{37} $$

Vậy xác suất học sinh đó đã chọn khối D, biết học sinh này đã đỗ đại học là $ \frac{21}{37} $.

Câu 6.
Để tính diện tích của cánh buồm, chúng ta sẽ chia nó thành hai phần: một nửa hình tròn và một hình tam giác cân.

Bước 1: Tính diện tích của nửa hình tròn.
- Bán kính của nửa hình tròn là 5 m.
- Diện tích của một hình tròn đầy đủ là $\pi r^2$.
- Do đó, diện tích của nửa hình tròn là $\frac{1}{2} \times \pi \times 5^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 25 = \frac{25\pi}{2}$ m².

Bước 2: Tính diện tích của hình tam giác cân.
- Cạnh đáy của tam giác là 10 m (đường kính của nửa hình tròn).
- Chiều cao của tam giác là 8 m.
- Diện tích của hình tam giác là $\frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ m².

Bước 3: Cộng diện tích của nửa hình tròn và hình tam giác để tìm tổng diện tích của cánh buồm.
- Tổng diện tích là $\frac{25\pi}{2} + 40$ m².

Vậy diện tích của cánh buồm là $\frac{25\pi}{2} + 40$ m².