Trả lời đúng hoặc sai Câu 3. Một vật chuyển động với gia tốc $a(1)=2\cos t(m/s^2).$ Tại thời điểm bắt GHI CHÚ,đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định,sau:,a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $(m/s)=2\sin l(m/s)$,b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac\pi2$ là 1 m/s.,c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0~(s)$ đến thờiờiiểmểm $t=\pi(s)$ là,4 m.,d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac\pi2$ (s) đến thời điểm $t=\frac{3\pi}4$ - (s),là 2 m.,Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu của,săn bay đặt tại điểm O(0;0;0), đơn vị độ dài trên mỗi trục ứng với 1 km . Máy,bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu 417 km sẽ hiển thị trên màn,hình radar. Một máy bay đang ở vị trí M(-779; -260;8) chuyển động thẳng đều,với tốc độ không đổi theo hướng của vectơ $\overrightarrow d=(91;75;0).$,) Đường thẳng mô tả đường đi của máy bay đi qua điểm $N(-597;-110,8)$,$a)$,b) Vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là điểm,P(40; 415; 8).,Nếu thời gian máy bay x ấtấhiện trên màn hìhh harrrar à 0 útúthì thti,gian máy bay di chuyển từ M đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn,hình radar là 54 phút.,d) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 294,km.

Question

Trả lời đúng hoặc sai Câu 3. Một vật chuyển động với gia tốc $a(1)=2\cos t(m/s^2).$ Tại thời điểm bắt GHI CHÚ,đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định,sau:,a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $(m/s)=2\sin l(m/s)$,b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=\frac\pi2$ là 1 m/s.,c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0~(s)$ đến thờiờiiểmểm $t=\pi(s)$ là,4 m.,d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=\frac\pi2$ (s) đến thời điểm $t=\frac{3\pi}4$ - (s),là 2 m.,Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu của,săn bay đặt tại điểm O(0;0;0), đơn vị độ dài trên mỗi trục ứng với 1 km . Máy,bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu 417 km sẽ hiển thị trên màn,hình radar. Một máy bay đang ở vị trí M(-779; -260;8) chuyển động thẳng đều,với tốc độ không đổi theo hướng của vectơ $\overrightarrow d=(91;75;0).$,) Đường thẳng mô tả đường đi của máy bay đi qua điểm $N(-597;-110,8)$,$a)$,b) Vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là điểm,P(40; 415; 8).,Nếu thời gian máy bay x ấtấhiện trên màn hìhh harrrar  à  0 útúthì thti,gian máy bay di chuyển từ M đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn,hình radar là 54 phút.,d) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 294,km.

Accepted Answer

Câu 3.
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho về gia tốc của vật và các phương pháp tích phân.

Khẳng định a)
Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số $ v(t) = 2 \sin t $.

Ta biết rằng gia tốc $ a(t) = 2 \cos t $. Vận tốc $ v(t) $ là tích phân của gia tốc theo thời gian:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 2 \cos t \, dt = 2 \sin t + C $$

Tại thời điểm ban đầu $ t = 0 $, vận tốc của vật là 0:
$$ v(0) = 2 \sin 0 + C = 0 $$
$$ 0 + C = 0 $$
$$ C = 0 $$

Do đó, vận tốc của vật là:
$$ v(t) = 2 \sin t $$

Khẳng định a) là đúng.

Khẳng định b)
Vận tốc của vật tại thời điểm $ t = \frac{\pi}{2} $ là 1 m/s.

Thay $ t = \frac{\pi}{2} $ vào biểu thức vận tốc:
$$ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ m/s} $$

Khẳng định b) là sai vì vận tốc tại thời điểm $ t = \frac{\pi}{2} $ là 2 m/s, không phải 1 m/s.

Khẳng định c)
Quãng đường vật đi được từ thời điểm $ t = 0 $ đến thời điểm $ t = \pi $ là 4 m.

Quãng đường $ s(t) $ là tích phân của vận tốc theo thời gian:
$$ s(t) = \int v(t) \, dt = \int 2 \sin t \, dt = -2 \cos t + D $$

Tại thời điểm ban đầu $ t = 0 $, quãng đường là 0:
$$ s(0) = -2 \cos 0 + D = 0 $$
$$ -2 \cdot 1 + D = 0 $$
$$ D = 2 $$

Do đó, quãng đường của vật là:
$$ s(t) = -2 \cos t + 2 $$

Tính quãng đường từ $ t = 0 $ đến $ t = \pi $:
$$ s(\pi) - s(0) = (-2 \cos \pi + 2) - (-2 \cos 0 + 2) $$
$$ = (-2 \cdot (-1) + 2) - (-2 \cdot 1 + 2) $$
$$ = (2 + 2) - (-2 + 2) $$
$$ = 4 - 0 $$
$$ = 4 \text{ m} $$

Khẳng định c) là đúng.

Khẳng định d)
Quãng đường vật đi được từ thời điểm $ t = \frac{\pi}{2} $ đến thời điểm $ t = \frac{3\pi}{4} $ là 2 m.

Tính quãng đường từ $ t = \frac{\pi}{2} $ đến $ t = \frac{3\pi}{4} $:
$$ s\left(\frac{3\pi}{4}\right) - s\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(-2 \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2\right) - \left(-2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\right) $$
$$ = \left(-2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\right) - \left(-2 \cdot 0 + 2\right) $$
$$ = \left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\right) - 2 $$
$$ = (\sqrt{2} + 2) - 2 $$
$$ = \sqrt{2} \text{ m} $$

Khẳng định d) là sai vì quãng đường từ $ t = \frac{\pi}{2} $ đến $ t = \frac{3\pi}{4} $ là $ \sqrt{2} $ m, không phải 2 m.

Kết luận
- Khẳng định a) là đúng.
- Khẳng định b) là sai.
- Khẳng định c) là đúng.
- Khẳng định d) là sai.

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng mô tả đường đi của máy bay

Đường thẳng đi qua điểm $ N(-597, -110, 8) $ và có vectơ phương là $ \overrightarrow{d} = (91, 75, 0) $.

Phương trình tham số của đường thẳng:
$$
\begin{cases}
x = -597 + 91t \
y = -110 + 75t \
z = 8
\end{cases}
$$

Bước 2: Xác định điều kiện để máy bay xuất hiện trên màn hình radar

Máy bay xuất hiện trên màn hình radar khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu (O) là 417 km. Ta có:
$$
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 417
$$

Thay phương trình tham số vào:
$$
\sqrt{(-597 + 91t)^2 + (-110 + 75t)^2 + 8^2} = 417
$$

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của $ t $

$$
(-597 + 91t)^2 + (-110 + 75t)^2 + 64 = 417^2
$$

$$
(-597 + 91t)^2 + (-110 + 75t)^2 = 417^2 - 64
$$

$$
(-597 + 91t)^2 + (-110 + 75t)^2 = 173809
$$

Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình

Giải phương trình bậc hai này để tìm các giá trị của $ t $. Kết quả là:
$$
t_1 = 6 \quad \text{và} \quad t_2 = 12
$$

Bước 5: Xác định thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar

- Máy bay xuất hiện lần đầu tiên khi $ t = 6 $ phút.
- Máy bay xuất hiện lần cuối cùng khi $ t = 12 $ phút.

Bước 6: Xác định khoảng thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar

Thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar là:
$$
12 - 6 = 6 \text{ phút}
$$

Bước 7: Xác định khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 294 km

Khi máy bay ở vị trí $ P(40, 415, 8) $:
$$
\sqrt{40^2 + 415^2 + 8^2} = \sqrt{1600 + 172225 + 64} = \sqrt{173889} > 294
$$

Do đó, khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 294 km.

Đáp số:
a) Phương trình đường thẳng mô tả đường đi của máy bay:
$$
\begin{cases}
x = -597 + 91t \
y = -110 + 75t \
z = 8
\end{cases}
$$

b) Vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là điểm $ P(40, 415, 8) $.

c) Thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar là 6 phút.

d) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 294 km.