toán lớp 11 sách cánh diều

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $$. Trước tiên, ta áp dụng tính chất logarit tổng: $$ Tiếp theo, ta biết rằng $$ là một hằng số. Để so sánh với các đáp án đã cho, ta cần tìm một biểu thức tương đương với $$. Ta có thể sử dụng công thức chuyển đổi cơ sở logarit: $$ Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có biểu thức nào tương ứng với $$. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để xem có biểu thức nào phù hợp không. Ta thấy rằng: - Đáp án A: $$ - Đáp án B: $$ (không hợp lý vì $$ không tồn tại) - Đáp án C: $$ (không đúng vì không có cơ sở logarit được chỉ định) - Đáp án D: $$ Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án D có dạng gần giống với $$. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại xem có thể biến đổi $$ thành $$ không. Ta thấy rằng $$ không thể biến đổi thành $$. Do đó, ta cần kiểm tra lại các tính chất logarit khác. Cuối cùng, ta nhận thấy rằng $$ không thể biến đổi thành một hằng số đơn giản như $$. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho một lần nữa. Sau khi kiểm tra lại, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên, nếu ta giả sử rằng có một lỗi trong đề bài hoặc các đáp án, ta có thể chọn đáp án gần đúng nhất là: Đáp án D: $$ Tuy nhiên, đây chỉ là một lựa chọn gần đúng nhất, không phải là đáp án chính xác. Đáp án: D. $$ Câu 2. Để giải phương trình $$, chúng ta cần tìm giá trị của $$ sao cho $$. Bước 1: Xác định giá trị của $$: - Ta biết rằng $$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số $$. Cụ thể, $$. Bước 2: So sánh hai vế của phương trình: - Phương trình ban đầu là $$. - Thay $$ bằng $$, ta có $$. Bước 3: So sánh các lũy thừa: - Vì cơ số giống nhau ($$), nên ta có $$. Vậy tập nghiệm của phương trình $$ là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 3. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và SA = SC, SB = SD. - Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm của cả AC và BD. - Ta có SA = SC và SB = SD, do đó tam giác SAC và SBD đều là tam giác cân tại S. Xét tam giác SAC: - O là trung điểm của AC, và SA = SC, suy ra SO vuông góc với AC (tính chất tam giác cân). Xét tam giác SBD: - O là trung điểm của BD, và SB = SD, suy ra SO vuông góc với BD (tính chất tam giác cân). Từ hai kết quả trên, ta thấy SO vuông góc với cả AC và BD. Vì AC và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD), nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, mệnh đề đúng là: $$ Đáp án: A. $$. Câu 4. Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (NN'F'P) là điểm N. Lập luận từng bước: - Mặt phẳng (NN'F'P) là một mặt của hình lập phương MNPQ.M'N'F'C'. - Điểm M nằm trên cạnh MN của hình lập phương. - Khi hạ đường thẳng vuông góc từ điểm M xuống mặt phẳng (NN'F'P), đường thẳng này sẽ cắt mặt phẳng tại điểm N vì MN là cạnh chung giữa hai mặt phẳng (MNPQ) và (NN'F'P). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (NN'F'P) là điểm N. Đáp án đúng là: A. N. Câu 5. Trong hình chóp S.ABCD, ta biết rằng SA vuông góc với đáy ABCD. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài đoạn thẳng SA. Do đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là SA. Đáp án đúng là: A. SA. Câu 6. Để xác định biến cố xung khắc với biến cố A, ta cần hiểu rằng biến cố A là "Tích số chấm xuất hiện là số lẻ". Điều này có nghĩa là cả hai con xúc xắc đều phải xuất hiện số chấm lẻ vì tích của hai số lẻ mới là số lẻ. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng biến cố: A. "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm": - Nếu cả hai mặt có cùng số chấm, thì cả hai mặt đều phải là số lẻ để tích là số lẻ. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ": - Tổng của hai số lẻ là số chẵn, nên nếu tổng là số lẻ thì ít nhất một trong hai số phải là số chẵn. Điều này xung khắc với biến cố A vì cả hai số phải là số lẻ. C. "Xuất hiện ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ": - Nếu ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ, thì vẫn có khả năng cả hai mặt đều là số lẻ. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. D. "Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau": - Nếu hai mặt có số chấm khác nhau, thì vẫn có khả năng cả hai mặt đều là số lẻ. Do đó, biến cố này không xung khắc với biến cố A. Như vậy, biến cố xung khắc với biến cố A là: B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ". Đáp án: B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ". Câu 7. Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần dựa vào các công thức cơ bản về xác suất của các biến cố. 1. Công thức xác suất của tổng của hai biến cố: - Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ, thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra (tức là $$) được tính theo công thức: $$ - Trong đó, $$ là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. 2. Kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: $$ - Đây là công thức đúng nếu A và B là hai biến cố không giao nhau (không thể xảy ra cùng lúc). Tuy nhiên, không phải mọi trường hợp đều như vậy, nên mệnh đề này không phải lúc nào cũng đúng. - Mệnh đề B: $$ - Đây là công thức đúng cho mọi trường hợp, kể cả khi A và B có thể xảy ra cùng lúc. Do đó, mệnh đề này luôn đúng. - Mệnh đề C: $$ - Mệnh đề này không có ý nghĩa vì không có thông tin về R và AH, và nó không tuân theo bất kỳ công thức xác suất cơ bản nào. - Mệnh đề D: $$ - Đây là công thức đúng nếu A và B là hai biến cố độc lập (tức là việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B). Tuy nhiên, không phải mọi trường hợp đều như vậy, nên mệnh đề này không phải lúc nào cũng đúng. Kết luận: Mệnh đề đúng là: $$ Đáp án: B. Câu 8. Để tính xác suất của biến cố $$ (tức là cả hai biến cố $$ và $$ cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố đồng thời khi hai biến cố độc lập: $$ Trong đó: - $$ - $$ Áp dụng công thức trên, ta có: $$ Vậy xác suất của biến cố $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 9. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề theo định nghĩa đạo hàm. Định nghĩa đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$ là: $$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $$ - Đây đúng là định nghĩa đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$. B. $$ - Đây cũng đúng là định nghĩa đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$. C. $$ - Đây cũng đúng là định nghĩa đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$. D. $$ - Mệnh đề này sai vì nó không đúng với định nghĩa đạo hàm. Đúng phải là $$. Vậy, mệnh đề sai là: $$ Câu 10. Để kiểm tra xem công thức đạo hàm nào trong các lựa chọn sai, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm của mỗi biểu thức. A. $$ - Đạo hàm của biến số $$ là 1. Công thức này đúng. B. $$ - Đạo hàm của một hằng số $$ là 0. Công thức này đúng. C. $$ - Ta biết rằng đạo hàm của $$ là $$. Do đó, công thức này sai. D. $$ - Đạo hàm của $$ theo công thức đạo hàm bậc cao là $$. Công thức này đúng. Như vậy, công thức đạo hàm sai là: C. $$ Đáp án: C. Câu 11. Để tính đạo hàm của hàm số $$, ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: $$ Trong đó: - $$ - $$ Ta tính đạo hàm của $$ và $$: - $$ - $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ Ta thực hiện phép nhân và trừ: $$ $$ $$ $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 12. Để tính $$ của hàm số $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $$. Hàm số $$ có dạng $$ với $$. Ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa và chuỗi: $$ Vì đạo hàm của $$ là 1, nên: $$ Bước 2: Thay $$ vào đạo hàm vừa tìm được để tính $$: $$ Như vậy, đáp án đúng là: D. 6 Đáp số: $$