Giúp mình với! Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{x-5}{\sqrt x}$ và $B=\frac{2x+2\sqrt x}{x-1}-\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}$ với $x0,x
e1.$,1. Tính giá trị của biểu thức A tại $x=36.$,2. Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}.$,3. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $P=AB$ có giá trị nguyên không âm.

Question

Giúp mình với! Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{x-5}{\sqrt x}$ và $B=\frac{2x+2\sqrt x}{x-1}-\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}$ với $x>0,x
e1.$,1. Tính giá trị của biểu thức A tại $x=36.$,2. Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}.$,3. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $P=AB$ có giá trị nguyên không âm.

Accepted Answer

Bài II.
Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $

1. Tính giá trị của biểu thức $ A $ tại $ x = 36 $:

$$ A = \frac{x - 5}{\sqrt{x}} $$

Thay $ x = 36 $ vào biểu thức $ A $:

$$ A = \frac{36 - 5}{\sqrt{36}} = \frac{31}{6} $$

2. Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} $:

$$ B = \frac{2x + 2\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} $$

Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung của hai phân thức:

$$ B = \frac{(2x + 2\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x}(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ B = \frac{2x\sqrt{x} - 2x + 2x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ B = \frac{2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - x + \sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ B = \frac{2x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ B = \frac{\sqrt{x}(2x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} $$

3. Tìm các giá trị nguyên của $ x $ để biểu thức $ P = AB $ có giá trị nguyên không âm:

$$ P = AB = \left( \frac{x - 5}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right) $$

$$ P = \frac{(x - 5)\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} $$

$$ P = \frac{x - 5}{\sqrt{x} - 1} $$

Để $ P $ có giá trị nguyên không âm, $ \frac{x - 5}{\sqrt{x} - 1} $ phải là số nguyên không âm. Ta xét các trường hợp:

- $ x = 4 $: $ \frac{4 - 5}{\sqrt{4} - 1} = \frac{-1}{1} = -1 $ (không thỏa mãn)
- $ x = 9 $: $ \frac{9 - 5}{\sqrt{9} - 1} = \frac{4}{2} = 2 $ (thỏa mãn)

Vậy các giá trị nguyên của $ x $ để biểu thức $ P $ có giá trị nguyên không âm là $ x = 9 $.

Đáp số: $ x = 9 $