giải đáp án $A.~AD\bot SC.~t$ $B.~SC\bot BD.$ $C.~SA\bot BD\bot$ $B.~SO\bot BD.$,Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=2a,~AD=a.$ SA vuông góc với,mặt phẳng đáy. $SA=a\sqrt3.$ Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng:,$A.~\frac{\sqrt5}4.$ $B.~\frac{\sqrt7}4.$ $C.~\frac{\sqrt6}4.$ $D.~\frac{\sqrt{10}}4.$,$AB=a,~AD=a\sqrt2,~SA\bot(ABCD).$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số đã cho:
   - Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.
   - $ AB = 2a $, $ AD = a $.
   - $ SA = a\sqrt{3} $ và $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).

2. Tìm góc giữa SC và mặt đáy (ABCD):
   - Gọi O là trung điểm của AC (đáy hình chữ nhật ABCD).
   - Ta có $ SO $ là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.
   - Góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) chính là góc $ \angle SCO $.

3. Tính độ dài các đoạn thẳng liên quan:
   - Độ dài $ AC $ trong hình chữ nhật ABCD:
     $$
     AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
     $$
   - Độ dài $ AO $ (trung điểm của AC):
     $$
     AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
     $$

4. Tính độ dài $ SO $:
   - Vì $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy, ta có:
     $$
     SO = SA = a\sqrt{3}
     $$

5. Tính cosin của góc $ \angle SCO $:
   - Ta sử dụng công thức tính cosin trong tam giác vuông:
     $$
     \cos(\angle SCO) = \frac{AO}{SC}
     $$
   - Độ dài $ SC $ trong tam giác SCA:
     $$
     SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{5})^2} = \sqrt{3a^2 + 5a^2} = \sqrt{8a^2} = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2}
     $$
   - Vậy:
     $$
     \cos(\angle SCO) = \frac{AO}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{2a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{8}
     $$

6. Kết luận:
   - Cosin của góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) là:
     $$
     \boxed{\frac{\sqrt{10}}{4}}
     $$

Vậy đáp án đúng là: $ D.~\frac{\sqrt{10}}{4} $.