Giúp mình với! Câu 3 (1,5 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là,trung điểm của CD.,a) Chứng minh $SM\bot AB.$,b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.,c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Question

Accepted Answer

Câu 3
a) Chứng minh $SM\bot AB$:
- Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và SA = SB = SC = SD.
- M là trung điểm của CD, do đó SM là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.
- Mặt khác, trong hình vuông ABCD, AB song song với CD, suy ra AB vuông góc với SM.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD:
- Diện tích đáy ABCD là $a^2$.
- Chiều cao của chóp S.ABCD là khoảng cách từ S đến mặt đáy ABCD. Ta gọi là h.
- Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có $SD^2 = SA^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, suy ra $SD = a\sqrt{2}$.
- Xét tam giác SMD vuông tại M, ta có $SM^2 + MD^2 = SD^2$. Vì M là trung điểm của CD nên MD = $\frac{a}{2}$. Do đó, $SM^2 + (\frac{a}{2})^2 = 2a^2$, suy ra $SM^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{7a^2}{4}$, suy ra $SM = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.
- Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} 	imes a^2 	imes \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^3\sqrt{7}}{6}$.

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD):
- Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBD). Ta cần tính AH.
- Diện tích tam giác SBD là $\frac{1}{2} 	imes BD 	imes SM = \frac{1}{2} 	imes a\sqrt{2} 	imes \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{14}}{4}$.
- Diện tích tam giác ABD là $\frac{1}{2} 	imes AB 	imes AD = \frac{1}{2} 	imes a 	imes a = \frac{a^2}{2}$.
- Thể tích khối chóp S.ABD là $\frac{1}{3} 	imes \frac{a^2}{2} 	imes \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}$.
- Mặt khác, thể tích khối chóp S.ABD cũng bằng $\frac{1}{3} 	imes \frac{a^2\sqrt{14}}{4} 	imes AH = \frac{a^2\sqrt{14}}{12} 	imes AH$.
- Do đó, $\frac{a^3\sqrt{7}}{12} = \frac{a^2\sqrt{14}}{12} 	imes AH$, suy ra $AH = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{14}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Đáp số:
a) Chứng minh $SM\bot AB$.
b) Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3\sqrt{7}}{6}$.
c) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.