giúp em với a Câu 11.(1,0 điểm) Cho phương trình $x^2-5x+2k-2=0$ ( k là thamssố).,Tìm k để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn,$\sqrt{x^2_1-4x_1+2k-2}+\sqrt{x_2}=3.$

Question

Accepted Answer

Câu 11. Để phương trình $x^2 - 5x + 2k - 2 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần: 1. Đặt $f(x) = x^2 - 5x + 2k - 2$. Ta cần $f(0) > 0$ và $f(5) > 0$. 2. Xét phương trình $x^2 - 5x + 2k - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $\Delta > 0$. Từ đó, ta có: $$ f(0) = 2k - 2 > 0 \Rightarrow k > 1 $$ $$ f(5) = 25 - 25 + 2k - 2 = 2k - 2 > 0 \Rightarrow k > 1 $$ Tiếp theo, ta xét $\Delta > 0$: $$ \Delta = 25 - 4(2k - 2) = 25 - 8k + 8 = 33 - 8k > 0 \Rightarrow k < \frac{33}{8} $$ Do đó, ta có: $$ 1 < k < \frac{33}{8} $$ Bây giờ, ta cần thỏa mãn điều kiện $\sqrt{x_1^2 - 4x_1 + 2k - 2} + \sqrt{x_2} = 3$. Ta biết rằng $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 5x + 2k - 2 = 0$, nên: $$ x_1 + x_2 = 5 $$ $$ x_1 x_2 = 2k - 2 $$ Ta cũng biết rằng: $$ x_1^2 - 4x_1 + 2k - 2 = (x_1 - 2)^2 $$ Do đó: $$ \sqrt{(x_1 - 2)^2} + \sqrt{x_2} = 3 $$ $$ |x_1 - 2| + \sqrt{x_2} = 3 $$ Vì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm dương, ta có hai trường hợp: 1. $x_1 - 2 + \sqrt{x_2} = 3$ 2. $2 - x_1 + \sqrt{x_2} = 3$ Xét trường hợp 1: $$ x_1 - 2 + \sqrt{x_2} = 3 \Rightarrow x_1 + \sqrt{x_2} = 5 $$ Vì $x_1 + x_2 = 5$, ta có: $$ \sqrt{x_2} = x_2 \Rightarrow x_2 = 1 \text{ hoặc } x_2 = 0 $$ Vì $x_2$ là nghiệm dương, ta có $x_2 = 1$. Thay vào $x_1 + x_2 = 5$, ta có: $$ x_1 + 1 = 5 \Rightarrow x_1 = 4 $$ Thay $x_1 = 4$ và $x_2 = 1$ vào $x_1 x_2 = 2k - 2$, ta có: $$ 4 \cdot 1 = 2k - 2 \Rightarrow 4 = 2k - 2 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3 $$ Xét trường hợp 2: $$ 2 - x_1 + \sqrt{x_2} = 3 \Rightarrow \sqrt{x_2} = x_1 + 1 $$ Vì $x_1 + x_2 = 5$, ta có: $$ x_2 = (x_1 + 1)^2 $$ Thay vào $x_1 + x_2 = 5$, ta có: $$ x_1 + (x_1 + 1)^2 = 5 \Rightarrow x_1 + x_1^2 + 2x_1 + 1 = 5 \Rightarrow x_1^2 + 3x_1 - 4 = 0 $$ Giải phương trình này, ta có: $$ x_1 = 1 \text{ hoặc } x_1 = -4 $$ Vì $x_1$ là nghiệm dương, ta có $x_1 = 1$. Thay vào $x_1 + x_2 = 5$, ta có: $$ 1 + x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = 4 $$ Thay $x_1 = 1$ và $x_2 = 4$ vào $x_1 x_2 = 2k - 2$, ta có: $$ 1 \cdot 4 = 2k - 2 \Rightarrow 4 = 2k - 2 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3 $$ Vậy, giá trị của $k$ là $k = 3$.