Giúp mình với Câu 21: Trong kỳ thi học kỳ I, bạn Bình làm đề thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có,4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bình trả lời,hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 40 câu, 10 câu còn lại Bình chọn ngẫu nhiên. Xác suất để điểm thi môn,Toán của Bình không dưới 9,0 điểm

Question

Accepted Answer

Câu 21:
Để tính xác suất điểm thi của Bình không dưới 9,0 điểm, ta cần biết rằng mỗi câu đúng được 0,2 điểm. Vậy để đạt ít nhất 9,0 điểm, Bình cần trả lời đúng ít nhất:
$$
\frac{9,0}{0,2} = 45 \text{ câu}
$$
Bình đã chắc chắn đúng 40 câu, vậy Bình cần trả lời đúng thêm ít nhất 5 câu trong 10 câu còn lại.

Xét các trường hợp:
- Bình trả lời đúng 5 câu trong 10 câu còn lại.
- Bình trả lời đúng 6 câu trong 10 câu còn lại.
- Bình trả lời đúng 7 câu trong 10 câu còn lại.
- Bình trả lời đúng 8 câu trong 10 câu còn lại.
- Bình trả lời đúng 9 câu trong 10 câu còn lại.
- Bình trả lời đúng 10 câu trong 10 câu còn lại.

Ta sẽ tính xác suất của từng trường hợp này.

Xác suất để Bình trả lời đúng $ k $ câu trong 10 câu còn lại là:
$$
P(X = k) = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{4} \right)^k \left( \frac{3}{4} \right)^{10-k}
$$

Tính xác suất tổng của các trường hợp từ 5 đến 10 câu:
$$
P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
$$

Cụ thể:
$$
P(X = 5) = \binom{10}{5} \left( \frac{1}{4} \right)^5 \left( \frac{3}{4} \right)^5
$$
$$
P(X = 6) = \binom{10}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^4
$$
$$
P(X = 7) = \binom{10}{7} \left( \frac{1}{4} \right)^7 \left( \frac{3}{4} \right)^3
$$
$$
P(X = 8) = \binom{10}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^8 \left( \frac{3}{4} \right)^2
$$
$$
P(X = 9) = \binom{10}{9} \left( \frac{1}{4} \right)^9 \left( \frac{3}{4} \right)^1
$$
$$
P(X = 10) = \binom{10}{10} \left( \frac{1}{4} \right)^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^0
$$

Tổng xác suất:
$$
P(X \geq 5) = \sum_{k=5}^{10} \binom{10}{k} \left( \frac{1}{4} \right)^k \left( \frac{3}{4} \right)^{10-k}
$$

Sau khi tính toán cụ thể từng xác suất trên, ta có:
$$
P(X \geq 5) \approx 0,0009765625 + 0,000244140625 + 0,000048828125 + 0,000006103515625 + 0,0000004768371582 + 0,000000009765625
$$
$$
P(X \geq 5) \approx 0,0012765625
$$

Vậy xác suất để điểm thi môn Toán của Bình không dưới 9,0 điểm là khoảng 0,0012765625.