Giúp tôi với Tính $\int\frac1{\sqrt{-x^2-14x-48}}dx.$

Question

Accepted Answer

Để tính $\int\frac1{\sqrt{-x^2-14x-48}}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Ta cần tìm điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm:
$$
-x^2 - 14x - 48 \geq 0
$$
Nhân cả hai vế với -1 (đảo chiều bất đẳng thức):
$$
x^2 + 14x + 48 \leq 0
$$
Phương trình bậc hai $x^2 + 14x + 48 = 0$ có các nghiệm:
$$
x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} = \frac{-14 \pm 2}{2}
$$
Do đó, các nghiệm là:
$$
x_1 = \frac{-14 + 2}{2} = -6 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-14 - 2}{2} = -8
$$
Biểu thức $x^2 + 14x + 48$ là một parabol mở lên, do đó nó nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng giữa hai nghiệm:
$$
-8 \leq x \leq -6
$$

Bước 2: Thực hiện phép biến đổi để dễ dàng tích phân
Ta viết lại biểu thức dưới dấu căn:
$$
-x^2 - 14x - 48 = -(x^2 + 14x + 48) = -(x + 7)^2 + 1
$$
Do đó:
$$
\sqrt{-x^2 - 14x - 48} = \sqrt{-(x + 7)^2 + 1} = \sqrt{1 - (x + 7)^2}
$$

Bước 3: Tích phân
Ta đặt $u = x + 7$, suy ra $du = dx$. Biến đổi cận tích phân tương ứng:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 7)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du
$$
Biểu thức trên là dạng tích phân cơ bản:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du = \arcsin(u) + C
$$
Trở về biến ban đầu:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 - 14x - 48}} dx = \arcsin(x + 7) + C
$$

Kết luận:
$$
\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 - 14x - 48}} dx = \arcsin(x + 7) + C
$$
Điều kiện xác định: $-8 \leq x \leq -6$.

Đáp số: $\arcsin(x + 7) + C$