Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số .
Bước 1: Xác định các điểm cực trị từ bảng biến thiên.
- Hàm số đạt cực đại tại .
- Hàm số đạt cực tiểu tại .
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 3: Áp dụng điều kiện cực trị vào đạo hàm.
- Tại , ta có:
- Tại , ta có:
Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm , , và .
Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
Thay vào phương trình (1):
Bước 5: Xác định giá trị của , , và .
- Chọn (vì ):
Bước 6: Viết lại phương trình đạo hàm:
Bước 7: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm:
Như vậy, nghiệm của phương trình là hoặc .
Đáp án: hoặc .
Câu 2.
Để xác định khoảng đồng biến của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của thương:
Tính đạo hàm của tử và mẫu:
Thay vào công thức:
Rút gọn biểu thức:
2. Xác định dấu của đạo hàm:
Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định:
Giải phương trình bậc hai:
Vậy và .
Đạo hàm vô định khi (do mẫu số bằng 0).
3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng:
Ta xét dấu của trên các khoảng , , , và .
- Trên khoảng , chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng , chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng , chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng , chọn :
Vậy trên .
4. Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Do đó, trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến của hàm số là .
Đáp án đúng là: .
Câu 3.
Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng và , ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân.
Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân.
- Cận dưới là
- Cận trên là
Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích.
Diện tích của hình phẳng (H) là:
Bước 3: Tính tích phân.
Áp dụng công thức tích phân cơ bản:
Ở đây, :
Bước 4: Đánh giá tích phân tại các cận.
Vậy diện tích của hình phẳng (H) là:
Đáp án đúng là: D. .
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai.
1. Khẳng định A:
- Vì , nên .
- Mặt khác, , do đó .
- Kết hợp hai điều trên, ta thấy vuông góc với cả và (vì ).
- Do đó, .
2. Khẳng định B:
- và , nên .
- cũng vuông góc với vì là đường chéo của hình vuông .
- Do đó, vuông góc với cả và , suy ra .
- Điều này chứng tỏ .
3. Khẳng định C:
- , do đó mặt phẳng vuông góc với .
- Mặt khác, , nên .
4. Khẳng định D:
- và , nên .
- Tuy nhiên, không vuông góc với vì là đường chéo của hình vuông và không vuông góc với .
Do đó, khẳng định D là sai.
Đáp án: D.
Câu 5.
Cấp số nhân có và công bội .
Ta có công thức tổng quát của cấp số nhân:
Áp dụng vào bài toán này:
Vậy giá trị của là: C. -24.
Câu 6.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Chia cả hai vế cho để đơn giản hóa:
Chia cả hai vế cho :
Điều này dẫn đến:
2. Xác định điều kiện của để bất phương trình đúng:
Ta cần tìm sao cho .
3. Áp dụng hàm logarit để giải bất phương trình:
Lấy logarit cơ số của cả hai vế:
Điều này dẫn đến:
4. Kết luận tập nghiệm:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ.
1. Tìm nguyên hàm của :
Ta biết rằng:
Ở đây, và . Do đó:
2. Tìm nguyên hàm của :
3. Kết hợp hai kết quả trên lại:
Trong đó, là hằng số tích phân tổng quát.
Vậy, nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 8.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của đồ thị hàm số và các thông tin đã cho trong đề bài.
Bước 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Đường tiệm cận đứng:
- Đường tiệm cận ngang:
Bước 2: Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Giao điểm với trục Oy:
- Giao điểm với trục Ox:
Bước 3: Xác định các thông tin từ đồ thị:
- Đường tiệm cận đứng là , suy ra hay .
- Đường tiệm cận ngang là , suy ra hay .
Bước 4: Tính giá trị của :
- Ta có và .
- Do đó, và .
- Vậy .
Vậy giá trị của là 0.
Đáp án đúng là: D. 0.