giải giúp em Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=( an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+ an x-\cot x+C.$ $B.~2x+ an x+\cot x+C.$,$ extcircled{C.}~ an x-\cot x+C.$ $D.~ an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$ extcircled C~F(x)=\frac{x^2}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^2}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x$ trên $(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^*$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm r (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t(m/s).$,B. Tích phân,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị của,$\int^3_3f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^\dagger_{f(x)dx=20}f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^3_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^1_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. $\int(x^2-2x+1)dx=\frac{x^3}3-x^2+$ D. -4.,câu $6|(x-1)^2=x^2-2x+1$

Question

giải giúp em Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=(	an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+	an x-\cot x+C.$ $B.~2x+	an x+\cot x+C.$,$	extcircled{C.}~	an x-\cot x+C.$ $D.~	an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$	extcircled C~F(x)=\frac{x^2}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^2}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x$ trên $(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^*$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm r (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t(m/s).$,B. Tích phân,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị của,$\int^3_3f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^\dagger_{f(x)dx=20}f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^3_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^1_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. $\int(x^2-2x+1)dx=\frac{x^3}3-x^2+$ D. -4.,câu $6|(x-1)^2=x^2-2x+1$

Accepted Answer

Câu 5.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (\tan x + \cot x)^2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phân tích biểu thức:
   $$
   f(x) = (\tan x + \cot x)^2
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   \cot x = \frac{1}{\tan x}
   $$

2. Thay thế và mở rộng biểu thức:
   $$
   f(x) = \left( \tan x + \frac{1}{\tan x} \right)^2
   $$
   Mở rộng bình phương:
   $$
   f(x) = \tan^2 x + 2 \cdot \tan x \cdot \frac{1}{\tan x} + \left( \frac{1}{\tan x} \right)^2
   $$
   $$
   f(x) = \tan^2 x + 2 + \frac{1}{\tan^2 x}
   $$

3. Sử dụng công thức lượng giác:
   Ta biết rằng:
   $$
   \tan^2 x + 1 = \sec^2 x
   $$
   Do đó:
   $$
   \tan^2 x = \sec^2 x - 1
   $$
   Thay vào biểu thức:
   $$
   f(x) = (\sec^2 x - 1) + 2 + \frac{1}{\sec^2 x - 1}
   $$
   $$
   f(x) = \sec^2 x + 1 + \frac{1}{\sec^2 x - 1}
   $$

4. Tìm nguyên hàm từng phần:
   $$
   \int f(x) \, dx = \int \left( \sec^2 x + 1 + \frac{1}{\sec^2 x - 1} \right) \, dx
   $$
   Ta chia thành ba tích phân riêng biệt:
   $$
   \int f(x) \, dx = \int \sec^2 x \, dx + \int 1 \, dx + \int \frac{1}{\sec^2 x - 1} \, dx
   $$

5. Tính từng tích phân:
   $$
   \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1
   $$
   $$
   \int 1 \, dx = x + C_2
   $$
   $$
   \int \frac{1}{\sec^2 x - 1} \, dx = \int \frac{1}{\tan^2 x} \, dx = \int \cot^2 x \, dx
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   \cot^2 x = \csc^2 x - 1
   $$
   Do đó:
   $$
   \int \cot^2 x \, dx = \int (\csc^2 x - 1) \, dx = -\cot x - x + C_3
   $$

6. Ghép lại các kết quả:
   $$
   \int f(x) \, dx = \tan x + x - \cot x - x + C
   $$
   $$
   \int f(x) \, dx = \tan x - \cot x + C
   $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (\tan x + \cot x)^2 $ là:
$$
\tan x - \cot x + C
$$

Đáp án đúng là: $\textcircled{C.}~\tan x - \cot x + C.$

Câu 6.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x - 1)^2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Phát triển biểu thức $ (x - 1)^2 $:
$$ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$

2. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 1 \, dx $$

3. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$
$$ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $$
$$ \int 1 \, dx = x $$

4. Ghép lại các kết quả:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Do đó, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x - 1)^2 $ là:
$$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là:
$$ \textcircled C~F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Đáp án: $\textcircled C~F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$

Câu 7.
Để tìm hàm số $ f(x) $ thỏa mãn $ f'(x) = 2x - 3e^x $ và $ f(0) = 5 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của $ f'(x) $:
   Ta có $ f'(x) = 2x - 3e^x $. Để tìm $ f(x) $, ta cần tính nguyên hàm của $ f'(x) $.

$$
   f(x) = \int (2x - 3e^x) \, dx
   $$

Ta tính từng phần nguyên hàm này:
   
   $$
   \int 2x \, dx = x^2 + C_1
   $$
   
   $$
   \int -3e^x \, dx = -3e^x + C_2
   $$

Kết hợp lại, ta có:

$$
   f(x) = x^2 - 3e^x + C
   $$

Trong đó $ C $ là hằng số tích phân.

2. Xác định hằng số $ C $:
   Ta biết rằng $ f(0) = 5 $. Thay $ x = 0 $ vào biểu thức của $ f(x) $:

$$
   f(0) = 0^2 - 3e^0 + C = 5
   $$

$$
   0 - 3 \cdot 1 + C = 5
   $$

$$
   -3 + C = 5
   $$

$$
   C = 8
   $$

3. Viết phương trình của $ f(x) $:
   Thay $ C = 8 $ vào biểu thức của $ f(x) $:

$$
   f(x) = x^2 - 3e^x + 8
   $$

Vậy khẳng định đúng là:

$$ D.~f(x) = x^2 - 3e^x + 8 $$

Câu 8.
Để tìm giá trị của $ F(4) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 5x\sqrt{x} $.

Ta có:
$$ f(x) = 5x\sqrt{x} = 5x^{1 + \frac{1}{2}} = 5x^{\frac{3}{2}} $$

Tính nguyên hàm của $ f(x) $:
$$ F(x) = \int 5x^{\frac{3}{2}} \, dx $$
$$ F(x) = 5 \int x^{\frac{3}{2}} \, dx $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $$
$$ F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} + C $$

2. Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ F(1) = 5 $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = 2 \cdot 1^{\frac{5}{2}} + C = 5 $$
$$ 2 + C = 5 $$
$$ C = 3 $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} + 3 $$

3. Tính giá trị của $ F(4) $.

Thay $ x = 4 $ vào $ F(x) $:
$$ F(4) = 2 \cdot 4^{\frac{5}{2}} + 3 $$
$$ 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^5 = 32 $$
$$ F(4) = 2 \cdot 32 + 3 $$
$$ F(4) = 64 + 3 $$
$$ F(4) = 67 $$

Vậy giá trị của $ F(4) $ là 67.

Đáp án đúng là: C. 67.

Câu 9.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 4^x $.
2. Xác định hằng số trong nguyên hàm dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.
3. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.
4. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $.

Ta biết rằng:
$$ \int 4^x \, dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C $$

Vì $ 4 = 2^2 $, nên $ \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 $. Do đó:
$$ \int 4^x \, dx = \frac{4^x}{2 \ln 2} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.

Thay $ x = 1 $ vào nguyên hàm:
$$ F(1) = \frac{4^1}{2 \ln 2} + C = \frac{4}{2 \ln 2} + C = \frac{2}{\ln 2} + C $$

Theo đề bài, $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $, nên:
$$ \frac{2}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} $$
$$ C = \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = -\frac{1}{\ln 2} $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $ là:
$$ F(x) = \frac{4^x}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Bước 3: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.

Thay $ x = \frac{3}{2} $ vào nguyên hàm:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4^{\frac{3}{2}}}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Ta biết rằng $ 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8 $, nên:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{8}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} $$

Bước 4: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

$$ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 = \left( \frac{3}{\ln 2} \right) \cdot \ln 2 = 3 $$

Vậy giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $ là 3.

Đáp án đúng là: A. 3.

Câu 10.
Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm $ t $ (giây), ta cần tích phân gia tốc $ a(t) $ theo thời gian $ t $.

Gia tốc của chất điểm được cho bởi:
$$ a(t) = 2t - 1 $$

Vận tốc $ v(t) $ là tích phân của gia tốc $ a(t) $:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t - 1) \, dt $$

Tích phân từng thành phần:
$$ v(t) = \int 2t \, dt - \int 1 \, dt $$
$$ v(t) = 2 \int t \, dt - \int 1 \, dt $$
$$ v(t) = 2 \left( \frac{t^2}{2} \right) - t + C $$
$$ v(t) = t^2 - t + C $$

Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu ($ t = 0 $) là $ v_0 = 2 \, m/s $:
$$ v(0) = 0^2 - 0 + C = 2 $$
$$ C = 2 $$

Do đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $ t $ là:
$$ v(t) = t^2 - t + 2 $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B.~v(t) = t^2 - t + 2 \, (m/s) $$

Câu 11.
Ta có:
$$
\int_{3}^{3} f'(x) \, dx = F(x) \Big|_{3}^{3} = F(3) - F(3) = 0
$$
Trong đó, $F(x)$ là nguyên hàm của $f'(x)$.

Do đó, giá trị của $\int_{3}^{3} f'(x) \, dx$ bằng 0.

Đáp án đúng là: None (không có trong các lựa chọn đã cho).

Câu 12.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, nếu ta có hai tích phân liên tiếp từ $a$ đến $c$ và từ $c$ đến $b$, tổng của chúng sẽ bằng tích phân từ $a$ đến $b$.

Cụ thể:
$$
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx
$$

Trong bài toán này, ta có:
$$
\int_1^3 f(x) \, dx = 6
$$
và
$$
\int_3^{20} f(x) \, dx = 20
$$

Ta cần tìm giá trị của $\int_3^3 f(x) \, dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có:
$$
\int_1^{20} f(x) \, dx = \int_1^3 f(x) \, dx + \int_3^{20} f(x) \, dx
$$

Thay các giá trị đã biết vào:
$$
\int_1^{20} f(x) \, dx = 6 + 20 = 26
$$

Bây giờ, ta cần tìm $\int_3^3 f(x) \, dx$. Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hàm số trên một khoảng có độ dài bằng không (tức là từ điểm $a$ đến chính điểm đó) luôn bằng 0:
$$
\int_3^3 f(x) \, dx = 0
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{0}
$$

Câu 13.
Để tính giá trị của $\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các dữ liệu đã cho.

Bước 1: Ta biết rằng $\int^1_{-1}f(x)dx=2$.

Bước 2: Ta cần tính $\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx$. Ta sẽ tách tích phân này thành hai phần:
$$
\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx = \int^1_{-1}4dx - \int^1_{-1}3f(x)dx
$$

Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ:
$$
\int^1_{-1}4dx = 4 \int^1_{-1}dx = 4[x]_{-1}^{1} = 4(1 - (-1)) = 4 \times 2 = 8
$$
$$
\int^1_{-1}3f(x)dx = 3 \int^1_{-1}f(x)dx = 3 \times 2 = 6
$$

Bước 4: Kết hợp lại:
$$
\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx = 8 - 6 = 2
$$

Vậy giá trị của $\int^1_{-1}[4-3f(x)]dx$ là 2.

Đáp án đúng là: A. -2.