Giúp em câu này

Câu 11: Để tìm khoảng thả cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ sao cho số gam tăng, chúng ta cần tính tổng khối lượng cá trên một đơn vị diện tích và tìm giá trị cực đại của nó. Tổng khối lượng cá trên một đơn vị diện tích là: \[ Q(n) = n \times P(n) = n \times (480 - 20n) = 480n - 20n^2 \] Để tìm giá trị cực đại của \( Q(n) \), chúng ta tính đạo hàm của \( Q(n) \): \[ Q'(n) = 480 - 40n \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 480 - 40n = 0 \] \[ 40n = 480 \] \[ n = 12 \] Kiểm tra dấu của đạo hàm \( Q'(n) \) ở hai bên điểm \( n = 12 \): - Khi \( n < 12 \), \( Q'(n) > 0 \) (tăng) - Khi \( n > 12 \), \( Q'(n) < 0 \) (giảm) Vậy \( Q(n) \) đạt cực đại tại \( n = 12 \). Do đó, để số gam tăng, số cá thả trên một đơn vị diện tích phải nằm trong khoảng \( (0; 12) \). Đáp án đúng là: \( B.~(0;12) \) Câu 12: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: Ta có đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 2x(x-1)^2(2-x)^3$. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 2x(x-1)^2(2-x)^3 = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các điểm cực trị: - Khi $x < 0$: Chọn $x = -1$, ta có $f'(-1) = 2(-1)(-1-1)^2(2+1)^3 = -2 \cdot 4 \cdot 27 < 0$ - Khi $0 < x < 1$: Chọn $x = \frac{1}{2}$, ta có $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)^2\left(2-\frac{1}{2}\right)^3 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 > 0$ - Khi $1 < x < 2$: Chọn $x = \frac{3}{2}$, ta có $f'\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}-1\right)^2\left(2-\frac{3}{2}\right)^3 = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 > 0$ - Khi $x > 2$: Chọn $x = 3$, ta có $f'(3) = 2(3)(3-1)^2(2-3)^3 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-1) < 0$ 3. Xác định tính chất cực trị: - Tại $x = 0$: Đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó $x = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = 1$: Đạo hàm không thay đổi dấu (cả hai bên đều dương), do đó $x = 1$ không phải là điểm cực trị. - Tại $x = 2$: Đạo hàm thay đổi từ dương sang âm, do đó $x = 2$ là điểm cực đại. Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x = 0$. Đáp án đúng là: C. $x = 0$. Câu 13: a) Đồ thị hàm số đã cho luôn có đường tiệm cận đứng là $x=\frac m4.$ Điều kiện xác định của hàm số là $m - 4x \neq 0$, tức là $x \neq \frac{m}{4}$. Do đó, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{m}{4}$. Khẳng định này là đúng. b) Có 2 giá trị thực của m để điểm $A(\frac{-1}{2};-1)$ thuộc đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Đường tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{m^2x - 2}{m - 4x}$ là $y = -\frac{m^2}{4}$ khi $x \to \pm \infty$. Để điểm $A(\frac{-1}{2};-1)$ thuộc đường tiệm cận ngang, ta có: \[ -\frac{m^2}{4} = -1 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2 \] Vậy có 2 giá trị thực của m là $m = 2$ và $m = -2$. Khẳng định này là đúng. c) Với $m=1$ thì đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang là $y=1.$ Khi $m = 1$, hàm số trở thành $y = \frac{x - 2}{1 - 4x}$. Đường tiệm cận ngang của hàm số này là $y = -\frac{1^2}{4} = -\frac{1}{4}$. Khẳng định này là sai. d) Với $m=1$ thì đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là $x=\frac14.$ Khi $m = 1$, điều kiện xác định của hàm số là $1 - 4x \neq 0$, tức là $x \neq \frac{1}{4}$. Do đó, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{1}{4}$. Khẳng định này là đúng. Đáp số: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] Bước 2: Xác định điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \] \[ \frac{4}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad (\text{vì } x > 0) \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở hai bên điểm \( x = 2 \). - Khi \( x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng) Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 2 \). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu. \[ y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là 4, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án đúng là: d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4. Câu 15: a) Ta có $y'=\frac{-4}{(x-3)^2}< 0,\forall x\ne 3$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;3)$ và $(3;+\infty)$. Do đó, khẳng định a sai. b) Xét hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ trên $[4;7]$. Ta có $y'=\frac{-4}{(x-3)^2}< 0,\forall x\in [4;7]$. Vậy hàm số nghịch biến trên $[4;7]$. Suy ra $y_{max}=f(4)=5$ và $y_{min}=f(7)=\frac{4}{5}$. Tỉ số giữa GTLN và GTNN của hàm số là $\frac{5}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{4}$. Do đó, khẳng định b sai. c) Ta có $\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{x-3}=1$. Vậy đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó, khẳng định c đúng. d) Xét phương trình $\frac{x+1}{x-3}=x-m$. Đặt $t=x-3$, ta có phương trình $t^2+(2-m)t+4=0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta=(2-m)^2-16>0$. Điều này tương đương với $m< -2$ hoặc $m>6$. Do đó, khẳng định d sai.