Giúp tôi với Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn,Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình $\sin(x+\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}2$ là:,$A.~x=-\frac{2\pi}3+k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in\mathbb Z).$ $B.~x=-\frac\pi3+k2\pi$ và $x=\frac\pi3+k2\pi(k\in Z).$,$C.~x=k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in Z).$ $D.~x=-\frac\pi2+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi}3+k2\pi(k\in\mathbb Z).$,Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^2-2x}=81$ là:,A. 4 . B. -4 . C. -2 D. 2.,Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình $\log_{16}(x+5)=\frac12$ là:,A. 3. B. -1 . C. -3. D. 27 .,Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình $\log_2(x-4)=\log_2(x^2-5x+4)$ là:,A. 1 . B. 2. C. 0. D. 3.

Question

Giúp tôi với Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn,Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình $\sin(x+\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}2$ là:,$A.~x=-\frac{2\pi}3+k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in\mathbb Z).$ $B.~x=-\frac\pi3+k2\pi$ và $x=\frac\pi3+k2\pi(k\in Z).$,$C.~x=k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi(k\in Z).$ $D.~x=-\frac\pi2+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi}3+k2\pi(k\in\mathbb Z).$,Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^2-2x}=81$ là:,A. 4 . B. -4 . C. -2  D. 2.,Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình $\log_{16}(x+5)=\frac12$ là:,A. 3. B. -1 . C. -3. D. 27 .,Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình $\log_2(x-4)=\log_2(x^2-5x+4)$ là:,A. 1 . B. 2. C. 0. D. 3.

Accepted Answer

Ví dụ 1.
Phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ có thể được giải như sau:

1. Tìm các giá trị của $ x $ sao cho $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
   - Ta biết rằng $\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ khi $\theta = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $\theta = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$).

2. Áp dụng vào phương trình ban đầu:
   - $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$
     $$
     x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi
     $$
   - $x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$
     $$
     x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = \pi + k2\pi
     $$

3. Kết luận:
   - Nghiệm của phương trình là $x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi$ và $x = \pi + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$).

Do đó, đáp án đúng là:
$$ A.~x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \text{ và } x = \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z}). $$

Ví dụ 2.
Để giải phương trình $3^{x^2-2x} = 81$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình đã cho là phương trình mũ, do đó không cần xác định điều kiện xác định.

Bước 2: Chuyển về cùng cơ số
Ta nhận thấy rằng $81 = 3^4$. Do đó, phương trình trở thành:
$$ 3^{x^2-2x} = 3^4 $$

Bước 3: So sánh các mũ
Vì hai vế có cùng cơ số, ta so sánh các mũ:
$$ x^2 - 2x = 4 $$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai
$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$
Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, $c = -4$:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} $$
$$ x = 1 \pm \sqrt{5} $$

Bước 5: Kết luận nghiệm
Phương trình có hai nghiệm:
$$ x_1 = 1 + \sqrt{5} $$
$$ x_2 = 1 - \sqrt{5} $$

Bước 6: Tính tổng các nghiệm
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là $-\frac{b}{a}$. Ở đây, $a = 1$ và $b = -2$:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2 $$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Đáp án đúng là: D. 2.

Ví dụ 3.
Để giải phương trình $\log_{16}(x+5)=\frac12$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình logarit, yêu cầu là đối số phải dương:
$$ x + 5 > 0 $$
$$ x > -5 $$

Bước 2: Giải phương trình logarit:
- Ta có phương trình $\log_{16}(x+5)=\frac12$. Điều này có nghĩa là:
$$ 16^{\frac12} = x + 5 $$
- Ta biết rằng $16 = 2^4$, do đó:
$$ 16^{\frac12} = (2^4)^{\frac12} = 2^2 = 4 $$
- Vậy phương trình trở thành:
$$ 4 = x + 5 $$

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất:
$$ x + 5 = 4 $$
$$ x = 4 - 5 $$
$$ x = -1 $$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định:
- Ta đã xác định ĐKXĐ là $x > -5$. Thử nghiệm nghiệm $x = -1$:
$$ -1 > -5 $$ (đúng)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$.

Đáp án đúng là: B. -1

Ví dụ 4.
Để giải phương trình $\log_2(x-4)=\log_2(x^2-5x+4)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Phương trình $\log_2(x-4)=\log_2(x^2-5x+4)$ có nghĩa là:
$$ x - 4 > 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 5x + 4 > 0 $$

Từ $x - 4 > 0$, ta có:
$$ x > 4 $$

Từ $x^2 - 5x + 4 > 0$, ta phân tích nhân tử:
$$ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) $$
Do đó:
$$ (x - 1)(x - 4) > 0 $$

Ta vẽ bảng xét dấu:
$$
\begin{array}{c|ccc}
x & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \
\hline
x - 1 & - & + & + \
x - 4 & - & - & + \
(x - 1)(x - 4) & + & - & + \
\end{array}
$$

Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 1)(x - 4) > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$. Kết hợp với điều kiện $x > 4$, ta có:
$$ x > 4 $$

Bước 2: Giải phương trình

Vì hai biểu thức logarit có cùng cơ số và bằng nhau, ta có:
$$ x - 4 = x^2 - 5x + 4 $$

Rearrange the equation:
$$ x^2 - 5x + 4 - x + 4 = 0 $$
$$ x^2 - 6x + 8 = 0 $$

Phân tích nhân tử:
$$ (x - 2)(x - 4) = 0 $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 $$

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định

- Với $x = 2$: Điều kiện $x > 4$ không thỏa mãn.
- Với $x = 4$: Điều kiện $x > 4$ không thỏa mãn.

Vậy cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận: Phương trình $\log_2(x-4)=\log_2(x^2-5x+4)$ không có nghiệm.

Đáp án đúng là: C. 0.