Giải hộ mình câu này với các bạn

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a và BC = 4a. - SA vuông góc với đáy ABC. - Góc giữa SC và đáy ABC bằng 60°. - M là trung điểm của AC. Ta sẽ tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM. Bước 1: Xác định các điểm và khoảng cách - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC. - Ta có AC là cạnh huyền của tam giác ABC, do đó: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a \] Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm - Gọi B là gốc tọa độ (0, 0, 0). - A có tọa độ (3a, 0, 0). - C có tọa độ (0, 4a, 0). - M là trung điểm của AC, do đó tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{3a + 0}{2}, \frac{0 + 4a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, 2a, 0 \right) \] - Gọi S có tọa độ (0, 0, h). Bước 3: Xác định góc giữa SC và đáy ABC - Vector SC có tọa độ: \[ \overrightarrow{SC} = (0 - 0, 4a - 0, 0 - h) = (0, 4a, -h) \] - Vector SB có tọa độ: \[ \overrightarrow{SB} = (0 - 0, 0 - 0, 0 - h) = (0, 0, -h) \] - Góc giữa SC và đáy ABC là 60°, do đó: \[ \cos 60^\circ = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SC}| |\overrightarrow{SB}|} = \frac{0 \cdot 0 + 4a \cdot 0 + (-h) \cdot (-h)}{\sqrt{0^2 + (4a)^2 + (-h)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + (-h)^2}} = \frac{h^2}{\sqrt{16a^2 + h^2} \cdot h} = \frac{h}{\sqrt{16a^2 + h^2}} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{16a^2 + h^2}} \] \[ \sqrt{16a^2 + h^2} = 2h \] \[ 16a^2 + h^2 = 4h^2 \] \[ 16a^2 = 3h^2 \] \[ h^2 = \frac{16a^2}{3} \] \[ h = \frac{4a}{\sqrt{3}} = \frac{4a \sqrt{3}}{3} \] Bước 4: Tính khoảng cách d giữa AB và SM - Vector AB có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (3a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (3a, 0, 0) \] - Vector SM có tọa độ: \[ \overrightarrow{SM} = \left( \frac{3a}{2} - 0, 2a - 0, 0 - \frac{4a \sqrt{3}}{3} \right) = \left( \frac{3a}{2}, 2a, -\frac{4a \sqrt{3}}{3} \right) \] - Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa AB và SM: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{SM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3a & 0 & 0 \\ \frac{3a}{2} & 2a & -\frac{4a \sqrt{3}}{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( 0 \cdot \left(-\frac{4a \sqrt{3}}{3}\right) - 0 \cdot 2a \right) - \mathbf{j} \left( 3a \cdot \left(-\frac{4a \sqrt{3}}{3}\right) - 0 \cdot \frac{3a}{2} \right) + \mathbf{k} \left( 3a \cdot 2a - 0 \cdot \frac{3a}{2} \right) \] \[ = \mathbf{i} (0) - \mathbf{j} \left( -4a^2 \sqrt{3} \right) + \mathbf{k} (6a^2) \] \[ = (0, 4a^2 \sqrt{3}, 6a^2) \] - Khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM: \[ d = \frac{| \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{n} |}{| \overrightarrow{n} |} \] \[ \overrightarrow{BA} = (-3a, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{n} = (-3a) \cdot 0 + 0 \cdot 4a^2 \sqrt{3} + 0 \cdot 6a^2 = 0 \] Do đó, khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM là: \[ d = \frac{0}{\sqrt{0 + (4a^2 \sqrt{3})^2 + (6a^2)^2}} = 0 \] Kết luận Khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM là: \[ \boxed{0} \]