giúp tôi với

Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) \( C(2;2) \) - Điểm \( A \) nằm tại gốc tọa độ \( (0;0) \). - Điểm \( D \) nằm trên tia \( Oy \) với tọa độ \( (0;2) \). - Vì \( ABCD \) là hình vuông nên cạnh \( AB \) và \( AD \) đều có độ dài bằng nhau và bằng 2 cm. - Do đó, điểm \( B \) nằm trên tia \( Ox \) với tọa độ \( (2;0) \). - Điểm \( C \) nằm ở góc còn lại của hình vuông, do đó tọa độ của \( C \) là \( (2;2) \). Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Phương trình đường tròn đường kính \( AD \) là \( x^2 + (y - 1)^2 = 1 \) - Đường kính \( AD \) có độ dài 2 cm, do đó bán kính là 1 cm. - Tâm của đường tròn này là trung điểm của \( AD \), tức là \( (0;1) \). - Phương trình đường tròn với tâm \( (0;1) \) và bán kính 1 cm là: \[ x^2 + (y - 1)^2 = 1 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Phương trình đường tròn đường kính \( BC \) là \( (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 \) - Đường kính \( BC \) có độ dài 2 cm, do đó bán kính là 1 cm. - Tâm của đường tròn này là trung điểm của \( BC \), tức là \( (2;1) \). - Phương trình đường tròn với tâm \( (2;1) \) và bán kính 1 cm là: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] Vậy mệnh đề c) là sai vì phương trình đúng là \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1 \). Mệnh đề d) Thể tích của vật trang trí đó khoảng 20,3 cm³ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) - Miền \( R \) được giới hạn bởi cạnh \( AB \), \( AD \) của hình vuông \( ABCD \) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \( BC \) và \( AD \). - Khi quay miền \( R \) quanh trục \( AB \), ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. - Để tính thể tích của khối tròn xoay này, ta cần tính diện tích của miền \( R \) và nhân với chiều dài quay (trong trường hợp này là 2 cm). Diện tích của miền \( R \): - Diện tích hình vuông \( ABCD \) là \( 2 \times 2 = 4 \) cm². - Diện tích của hai phần tư đường tròn (tổng cộng là một nửa đường tròn) là \( \frac{1}{2} \pi \times 1^2 = \frac{\pi}{2} \) cm². - Diện tích của miền \( R \) là \( 4 - \frac{\pi}{2} \) cm². Thể tích của khối tròn xoay: \[ V = \text{Diện tích của miền } R \times \text{Chiều dài quay} = \left( 4 - \frac{\pi}{2} \right) \times 2 \approx 20,3 \text{ cm}^3 \] Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Đúng Câu 3. a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y + z^2 + 1 = 0 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 + z^2 + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9 \] Từ đó ta thấy mặt cầu có tâm \( I(1, -3, 0) \) và bán kính \( R = 3 \). b) Để kiểm tra điểm \( M(4, -3) \) có thuộc mặt cầu hay không, ta thay tọa độ của \( M \) vào phương trình mặt cầu: \[ (4 - 1)^2 + (-3 + 3)^2 + 0^2 = 9 \] \[ 3^2 + 0 + 0 = 9 \] \[ 9 = 9 \] Vậy điểm \( M(4, -3) \) thuộc mặt cầu. c) Để kiểm tra mặt cầu có tiếp xúc với trục Ox hay không, ta xét tọa độ của tâm \( I(1, -3, 0) \). Mặt cầu sẽ tiếp xúc với trục Ox nếu khoảng cách từ tâm đến trục Ox bằng bán kính của mặt cầu. Khoảng cách từ tâm \( I(1, -3, 0) \) đến trục Ox là: \[ \sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Vì \( \sqrt{10} \neq 3 \), nên mặt cầu không tiếp xúc với trục Ox. d) Để kiểm tra mặt phẳng \( (P): 2x + y - 2z + 4 = 0 \) cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính bằng 5, ta cần tính khoảng cách từ tâm \( I(1, -3, 0) \) đến mặt phẳng \( (P) \). Khoảng cách từ điểm \( I(1, -3, 0) \) đến mặt phẳng \( (P) \) là: \[ d = \frac{|2(1) + (-3) - 2(0) + 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 3 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{3}{3} = 1 \] Bán kính của đường tròn giao tuyến là: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Đường kính của đường tròn giao tuyến là: \[ 2r = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] Vì \( 4\sqrt{2} \neq 5 \), nên mặt phẳng \( (P) \) không cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính bằng 5. Kết luận: a) Tâm \( I(1, -3, 0) \), Bán kính \( R = 3 \) b) Điểm \( M(4, -3) \) thuộc mặt cầu. c) Mặt cầu không tiếp xúc với trục Ox. d) Mặt phẳng \( (P) \) không cắt mặt cầu theo đường tròn có đường kính bằng 5. Câu 4. a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là: \[ 50 \times \frac{60}{100} = 30 \text{ (viên)} \] b) Số viên bi màu vàng không đánh số là: \[ 30 \times \frac{50}{100} = 15 \text{ (viên)} \] c) Tổng số viên bi có đánh số là: \[ 30 + 15 = 45 \text{ (viên)} \] Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ \frac{45}{80} = \frac{9}{16} \] d) Tổng số viên bi không có đánh số là: \[ 50 - 30 + 30 - 15 = 35 \text{ (viên)} \] Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: \[ \frac{35}{80} = \frac{7}{16} \] Đáp số: a) 30 viên bi màu đỏ có đánh số. b) 15 viên bi màu vàng không đánh số. c) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{9}{16}$. d) Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là $\frac{7}{16}$.