trả lời câu hỏi đúng sai

Câu 13. a) Đúng vì theo định lý Newton-Leibniz, $\int^3_1f(x)dx = F(3) - F(1)$. b) Ta có $F(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C$. Biết rằng $F(0) = 1$, suy ra $C = 1$. Vậy $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 1$. Do đó, $F(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 + 1 = \frac{8}{3} + 4 + 1 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + \frac{3}{3} = \frac{23}{3}$. Vậy $F(2) = \frac{23}{3}$, không phải $\frac{25}{3}$. Suy ra: Đáp án này sai. c) Ta có $\int^2_0 kf(x) dx = k \int^2_0 f(x) dx = k \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]^2_0 = k \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 - 0 \right) = k \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = k \left( \frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) = k \cdot \frac{20}{3}$. Biết rằng $\int^2_0 kf(x) dx = 2$, suy ra $k \cdot \frac{20}{3} = 2$. Từ đó, $k = 2 \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{10}$. Vậy $k = \frac{3}{10}$, đúng. d) Ta có $\int^3_1 \frac{f(x)}{x^2} dx = \int^3_1 \frac{x^2 + 2x}{x^2} dx = \int^3_1 \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx = \left[ x + 2 \ln |x| \right]^3_1 = (3 + 2 \ln 3) - (1 + 2 \ln 1) = 3 + 2 \ln 3 - 1 = 2 + 2 \ln 3$. So sánh với dạng $a + a \ln b$, ta nhận thấy $a = 2$ và $b = 3$. Vậy $2a - 3b = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5$. Đáp án này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 14. a) Mặt phẳng $(P): x + 2y - 3z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. b) Đường thẳng qua điểm $A(1; 3; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ sẽ có phương thẳng đứng theo vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, phương trình đường thẳng này là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} \] c) Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm $A(1; 3; -2)$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: - Gọi $H(x_0; y_0; z_0)$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} = t \] Từ đây, ta có: \[ x = 1 + t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = -2 - 3t \] - Vì điểm $H$ nằm trên mặt phẳng $(P)$, nên tọa độ của $H$ phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng $(P)$: \[ (1 + t) + 2(3 + 2t) - 3(-2 - 3t) - 5 = 0 \] \[ 1 + t + 6 + 4t + 6 + 9t - 5 = 0 \] \[ 14t + 8 = 0 \] \[ t = -\frac{4}{7} \] - Thay $t = -\frac{4}{7}$ vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ của $H$: \[ x_0 = 1 + (-\frac{4}{7}) = \frac{3}{7} \] \[ y_0 = 3 + 2(-\frac{4}{7}) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{13}{7} \] \[ z_0 = -2 - 3(-\frac{4}{7}) = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7} \] Do đó, tọa độ của hình chiếu $H$ là: \[ H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right) \] Đáp số: a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$ b) Phương trình đường thẳng: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3}$ c) Tọa độ hình chiếu của $A$ trên $(P)$: $H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right)$