Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Câu 13.
a) Đúng vì theo định lý Newton-Leibniz, $\int^3_1f(x)dx = F(3) - F(1)$.
b) Ta có $F(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C$.
Biết rằng $F(0) = 1$, suy ra $C = 1$. Vậy $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 1$.
Do đó, $F(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 + 1 = \frac{8}{3} + 4 + 1 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + \frac{3}{3} = \frac{23}{3}$.
Vậy $F(2) = \frac{23}{3}$, không phải $\frac{25}{3}$.
Suy ra: Đáp án này sai.
c) Ta có $\int^2_0 kf(x) dx = k \int^2_0 f(x) dx = k \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]^2_0 = k \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 - 0 \right) = k \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = k \left( \frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) = k \cdot \frac{20}{3}$.
Biết rằng $\int^2_0 kf(x) dx = 2$, suy ra $k \cdot \frac{20}{3} = 2$.
Từ đó, $k = 2 \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{10}$.
Vậy $k = \frac{3}{10}$, đúng.
d) Ta có $\int^3_1 \frac{f(x)}{x^2} dx = \int^3_1 \frac{x^2 + 2x}{x^2} dx = \int^3_1 \left( 1 + \frac{2}{x} \right) dx = \left[ x + 2 \ln |x| \right]^3_1 = (3 + 2 \ln 3) - (1 + 2 \ln 1) = 3 + 2 \ln 3 - 1 = 2 + 2 \ln 3$.
So sánh với dạng $a + a \ln b$, ta nhận thấy $a = 2$ và $b = 3$.
Vậy $2a - 3b = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5$.
Đáp án này đúng.
Kết luận:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Câu 14.
a) Mặt phẳng $(P): x + 2y - 3z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$.
b) Đường thẳng qua điểm $A(1; 3; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ sẽ có phương thẳng đứng theo vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, phương trình đường thẳng này là:
\[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} \]
c) Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm $A(1; 3; -2)$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:
- Gọi $H(x_0; y_0; z_0)$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình:
\[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} = t \]
Từ đây, ta có:
\[ x = 1 + t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = -2 - 3t \]
- Vì điểm $H$ nằm trên mặt phẳng $(P)$, nên tọa độ của $H$ phải thỏa mãn phương trình của mặt phẳng $(P)$:
\[ (1 + t) + 2(3 + 2t) - 3(-2 - 3t) - 5 = 0 \]
\[ 1 + t + 6 + 4t + 6 + 9t - 5 = 0 \]
\[ 14t + 8 = 0 \]
\[ t = -\frac{4}{7} \]
- Thay $t = -\frac{4}{7}$ vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ của $H$:
\[ x_0 = 1 + (-\frac{4}{7}) = \frac{3}{7} \]
\[ y_0 = 3 + 2(-\frac{4}{7}) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{13}{7} \]
\[ z_0 = -2 - 3(-\frac{4}{7}) = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7} \]
Do đó, tọa độ của hình chiếu $H$ là:
\[ H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right) \]
Đáp số:
a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$
b) Phương trình đường thẳng: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3}$
c) Tọa độ hình chiếu của $A$ trên $(P)$: $H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right)$
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5(0 đánh giá)
0
0 bình luận
Bình luận
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.