Giúp mình với! Câu 72: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số,$f(x)=\frac{x-2}{x+1}$,tại điểm $x_0=0,$ ta được $f^\prime(0)=a.$,Khi đó:,Các mệnh đề sau đúng hay sai?,Mệnh đề Đúng Sai,$a)~f^\prime(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)~f(0)}{x-0}$,$b)~f^\prime(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac4{x+1}$,c) Phương trình $3^x=3$ có nghiệm bằng $x=a-2$,$d)~\log_a9=3$

Question

Accepted Answer

Câu 72:
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho và các kiến thức về đạo hàm và phương trình mũ, logarit.

Mệnh đề a)
$f^\prime(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
Theo định nghĩa đạo hàm, điều này là đúng. Do đó, mệnh đề a) là Đúng.

Mệnh đề b)
$f^\prime(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{4}{x+1}$
Ta cần tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ tại điểm $x_0=0$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ f'(x) = \frac{(x-2)'(x+1) - (x-2)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{(1)(x+1) - (x-2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} $$
Tại điểm $x = 0$, ta có:
$$ f'(0) = \frac{3}{(0+1)^2} = 3 $$
Do đó, $f^\prime(0) = 3$. Mệnh đề b) là Sai vì $\lim_{x\rightarrow0}\frac{4}{x+1} = 4$.

Mệnh đề c)
Phương trình $3^x = 3$ có nghiệm bằng $x = a - 2$
Phương trình $3^x = 3$ có nghiệm là $x = 1$ (vì $3^1 = 3$). Ta đã biết $f^\prime(0) = 3$, do đó $a = 3$. Vậy $x = a - 2 = 3 - 2 = 1$. Mệnh đề c) là Đúng.

Mệnh đề d)
$\log_a 9 = 3$
Ta đã biết $a = 3$, do đó $\log_3 9 = 2$ (vì $3^2 = 9$). Mệnh đề d) là Sai.

Kết luận:
- Mệnh đề a) Đúng
- Mệnh đề b) Sai
- Mệnh đề c) Đúng
- Mệnh đề d) Sai