Giải chi tiết

Câu 1. Ta có: $$ Áp dụng công thức lôgarit cơ bản $$: $$ Do đó: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $$, chúng ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit phải dương. Cụ thể, đối số $$ phải thỏa mãn điều kiện $$. Do đó, tập xác định của hàm số $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 3. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $$ có thể viết thành $$. Do đó, phương trình trở thành: $$ 2. So sánh các mũ của cùng cơ số: Vì hai vế đều có cơ số là 3, ta có thể so sánh các mũ của chúng: $$ 3. Giải phương trình bậc nhất: Giải phương trình $$: $$ 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Phương trình đã cho không có điều kiện xác định riêng biệt, vì nó là phương trình mũ đơn giản. 5. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 4. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng: - AC là đường chéo mặt của đáy ABCD. - B'D' là đường chéo mặt của đáy A'B'C'D'. Do tính chất đối xứng của hình lập phương, ta có thể suy ra rằng góc giữa AC và B'D' sẽ giống như góc giữa hai đường chéo mặt của cùng một đáy. Ta xét góc giữa AC và BD trong đáy ABCD: - AC và BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD. - Góc giữa hai đường chéo của hình vuông là 90°. Tuy nhiên, do tính chất đối xứng và các đường chéo của hình lập phương, góc giữa AC và B'D' sẽ là góc giữa hai đường chéo của hai mặt phẳng song song và vuông góc với nhau. Do đó, góc giữa AC và B'D' là 60°. Đáp án đúng là: $$ Câu 5. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có $$ và đáy ABCD là hình bình hành. - Khẳng định A: $$ - Vì $$, nên $$. Tuy nhiên, để kết luận $$, ta cần biết thêm thông tin về vị trí của điểm B trên mặt phẳng (ABCD). Do đó, không thể chắc chắn rằng $$. - Khẳng định B: $$ - Vì $$, mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD) đều vuông góc với $$. Do đó, $$ là khẳng định đúng. - Khẳng định C: $$ - Vì ABCD là hình bình hành, $$ và $$ không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Do đó, khẳng định này không đúng. - Khẳng định D: $$ - Vì ABCD là hình bình hành, $$ và $$ là hai đường chéo của hình bình hành. Trong hình bình hành, hai đường chéo không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Do đó, khẳng định này không đúng. Từ các lập luận trên, khẳng định đúng là: $$ Câu 6. Để tính đạo hàm của hàm số $$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số bên trong và bên ngoài. - Hàm số bên trong là $$. - Hàm số bên ngoài là $$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số bên trong. - Đạo hàm của $$ là $$. Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số bên ngoài. - Đạo hàm của $$ là $$. Bước 4: Thay $$ và $$ vào công thức đạo hàm của hàm số bên ngoài. - Ta có $$. Bước 5: Rút gọn biểu thức. - $$. Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 7. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy AB, BC, CA bằng nhau và các cạnh bên SA, SB, SC cũng bằng nhau. Hình chóp tam giác đều có tính chất đặc biệt là đỉnh S nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy (trong trường hợp này là mặt phẳng (ABC)). Do đó, khoảng cách từ S đến (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng hạ từ S vuông góc xuống mặt đáy (ABC). Trong tam giác đều ABC, trọng tâm O cũng là giao điểm của các đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy. Vì vậy, đoạn thẳng SO sẽ là đường thẳng vuông góc hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy (ABC). Do đó, khoảng cách từ S đến (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng SO. Đáp án đúng là: D. Độ dài đoạn SO. Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của xác suất của hai biến cố độc lập. - Biến cố A có xác suất xảy ra là $$. - Biến cố B có xác suất xảy ra là $$. Khi hai biến cố độc lập, xác suất của biến cố đồng thời xảy ra cả hai biến cố (biến cố $$) được tính bằng tích của xác suất của mỗi biến cố. $$ Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: $$ Vậy, xác suất để xảy ra biến cố $$ là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 9. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: $$ 2. Giải phương trình logarit: Ta có phương trình $$. Điều này có nghĩa là: $$ Ta biết rằng $$, nên: $$ Do đó: $$ 3. Tìm giá trị của $$: Để tìm $$, ta sử dụng logarit: $$ Vậy nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 10. Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố "A hoặc B xảy ra" có nghĩa là ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B phải xảy ra. - Trong lý thuyết xác suất, biến cố này được gọi là biến cố hợp của A và B. Do đó, đáp án đúng là: C. Biến cố hợp của A và B.