Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính khoảng tứ phân vị () của cả hai mẫu số liệu ghép nhóm A và B. Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa hai tứ phân vị Q1 và Q3.
Bước 1: Tính khoảng tứ phân vị của nhóm A
Tính tổng số lượng quan sát:
Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất):
- Vị trí của Q1 là .
- Q1 nằm trong nhóm [10; 20).
Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba):
- Vị trí của Q3 là .
- Q3 nằm trong nhóm [20; 30).
Áp dụng công thức để tính Q1 và Q3:
Khoảng tứ phân vị của nhóm A:
Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị của nhóm B
Tính tổng số lượng quan sát:
Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất):
- Vị trí của Q1 là .
- Q1 nằm trong nhóm [10,3; 20,3).
Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba):
- Vị trí của Q3 là .
- Q3 nằm trong nhóm [20,3; 30,3).
Áp dụng công thức để tính Q1 và Q3:
Khoảng tứ phân vị của nhóm B:
Kết luận:
Do đó, phát biểu đúng là:
Câu 2.
Phương trình của mặt cầu có dạng , trong đó tâm của mặt cầu là và bán kính là .
So sánh phương trình : với phương trình tổng quát của mặt cầu, ta nhận thấy:
-
-
-
-
Do đó, tâm của mặt cầu là .
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm của hàm số .
2. Áp dụng công thức tính tích phân để tìm giá trị của .
Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Bước 2: Tính tích phân
Biết rằng:
Ta cần tính:
Áp dụng tính chất của tích phân:
Thay giá trị đã biết vào:
Đáp số:
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng nếu một số là của , thì nó sẽ bằng .
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem liệu nó có thỏa mãn điều kiện trên hay không.
A. 4050
Ta có:
Bước 1: Tính :
Bước 2: Thay vào phương trình:
Bước 3: Giải phương trình để tìm :
Vì không là một số nguyên, nên đáp án A không đúng.
B. 2023
Ta có:
Bước 1: Tính :
Bước 2: Thay vào phương trình:
Bước 3: Giải phương trình để tìm :
Vì không là một số nguyên, nên đáp án B không đúng.
C. 2050
Ta có:
Bước 1: Tính :
Bước 2: Thay vào phương trình:
Bước 3: Giải phương trình để tìm :
Vì không là một số nguyên, nên đáp án C không đúng.
Như vậy, cả ba đáp án đều không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Do đó, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.
Câu 5.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình có nghĩa là:
Từ , ta có:
Từ , ta có:
Giải bất phương trình này, ta nhận được:
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
Bước 2: Giải phương trình
Do , suy ra:
Rearrange the equation:
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai
Ta giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:
Ở đây, , , . Thay vào công thức:
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định
Chúng ta đã xác định điều kiện . Do đó, trong hai nghiệm và , chỉ có thỏa mãn điều kiện.
Kết luận:
Phương trình có duy nhất một nghiệm là .
Vậy đáp án đúng là:
C. 1.
Câu 6.
Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số , ta cần xác định điểm sao cho hàm số có tính chất đối xứng qua điểm này.
Từ đồ thị, ta thấy rằng đường thẳng là đường phân chia đối xứng của đồ thị hàm số. Điều này cho thấy tâm đối xứng nằm trên đường thẳng này.
Ta cũng nhận thấy rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm và cắt trục tung tại điểm . Do đó, tâm đối xứng của đồ thị sẽ nằm giữa hai điểm này.
Tọa độ tâm đối xứng sẽ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm và :
Tuy nhiên, từ đồ thị, ta thấy tâm đối xứng nằm ở điểm . Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hình chóp và hình vuông.
1. Xác định các tính chất cơ bản:
- Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các góc ở đáy đều là 90°.
- SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
2. Xét từng mặt phẳng:
- Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A và D. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với AD. Tuy nhiên, CD không nằm trong mặt phẳng (SAD), nên CD không thể vuông góc với (SAD).
- Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B và C. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với SB và SC. Tuy nhiên, CD không nằm trong mặt phẳng (SBC), nên CD không thể vuông góc với (SBC).
- Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A và C. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với AC. Mặt khác, CD nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và vuông góc với AC (vì ABCD là hình vuông). Do đó, CD vuông góc với cả SA và AC, suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
- Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A và B. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với AB. Tuy nhiên, CD không nằm trong mặt phẳng (SAB), nên CD không thể vuông góc với (SAB).
3. Kết luận:
- Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Công bội của cấp số nhân là . Ta có:
Thay và vào công thức trên, ta được:
Suy ra:
Lấy căn bậc ba cả hai vế, ta có:
Đáp số: