Câu 5. Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 10 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là a/b ( là phân số tối giản). Tính S=a+b

Question

Câu 5. Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 10 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng thưởng là a/b  ( là phân số tối giản). Tính S=a+b

Accepted Answer

Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất để tổng bình phương của 5 số được bốc ra chia hết cho 10.

Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra:
- Có 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25.
- Mỗi lần bốc 5 cái phiếu, số cách chọn 5 cái phiếu từ 25 cái phiếu là:
$$ C_{25}^5 = \frac{25!}{5!(25-5)!} = 53130 $$

Bước 2: Xác định các trường hợp thuận lợi:
- Ta cần tìm các bộ 5 số sao cho tổng bình phương của chúng chia hết cho 10.
- Một số chia hết cho 10 khi tận cùng là 0 hoặc 5.

Bước 3: Xét các trường hợp cụ thể:
- Số chia hết cho 10: 0, 10, 20.
- Số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 10: 5, 15, 25.

Bước 4: Xác định các trường hợp thuận lợi:
- Để tổng bình phương của 5 số chia hết cho 10, ta cần ít nhất một trong các số đó có tận cùng là 0 hoặc 5.
- Ta sẽ xét các trường hợp cụ thể:
  - Nếu có 1 số tận cùng là 0 hoặc 5, các số còn lại có thể là bất kỳ.
  - Nếu có 2 số tận cùng là 0 hoặc 5, các số còn lại có thể là bất kỳ.
  - Nếu có 3 số tận cùng là 0 hoặc 5, các số còn lại có thể là bất kỳ.
  - Nếu có 4 số tận cùng là 0 hoặc 5, các số còn lại có thể là bất kỳ.
  - Nếu có 5 số tận cùng là 0 hoặc 5, các số còn lại có thể là bất kỳ.

Bước 5: Tính xác suất:
- Số cách chọn 1 số tận cùng là 0 hoặc 5 từ 3 số là: $ C_3^1 \times C_{22}^4 $
- Số cách chọn 2 số tận cùng là 0 hoặc 5 từ 3 số là: $ C_3^2 \times C_{22}^3 $
- Số cách chọn 3 số tận cùng là 0 hoặc 5 từ 3 số là: $ C_3^3 \times C_{22}^2 $

Tổng số cách chọn các trường hợp thuận lợi là:
$$ C_3^1 \times C_{22}^4 + C_3^2 \times C_{22}^3 + C_3^3 \times C_{22}^2 $$

Bước 6: Tính xác suất:
$$ P = \frac{C_3^1 \times C_{22}^4 + C_3^2 \times C_{22}^3 + C_3^3 \times C_{22}^2}{C_{25}^5} $$

Bước 7: Rút gọn phân số:
$$ P = \frac{3 \times 7315 + 3 \times 1540 + 1 \times 231}{53130} = \frac{21945 + 4620 + 231}{53130} = \frac{26796}{53130} = \frac{4466}{8855} $$

Bước 8: Tìm S = a + b:
$$ S = 4466 + 8855 = 13321 $$

Đáp số: S = 13321

Câu 5. Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 25 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 25, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số...