Câu 1:
Để xác định phát biểu nào là đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một dựa trên các tính chất của đạo hàm và sự đồng biến của hàm số.
A. Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên
- Phát biểu này không hoàn toàn đúng vì nếu ở một số điểm trong khoảng (a; b), hàm số có thể không đồng biến trên toàn bộ khoảng đó. Ví dụ, hàm số có đạo hàm , và trên khoảng (-1; 1), nhưng hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này do nó có điểm cực đại tại x = -1 và cực tiểu tại x = 1.
B. Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên
- Phát biểu này đúng. Nếu đạo hàm với mọi x thuộc (a; b), hàm số sẽ đồng biến trên khoảng (a; b).
C. Hàm số đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc
- Phát biểu này không đúng vì lý do đã nêu ở phát biểu A. Nếu ở một số điểm trong khoảng (a; b), hàm số có thể không đồng biến trên toàn bộ khoảng đó.
D. Hàm số đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi với mọi x thuộc
- Phát biểu này không đúng vì hàm số có thể đồng biến trên (a; b) ngay cả khi đạo hàm ở một số điểm trong khoảng đó, miễn là đạo hàm không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại.
Vậy phát biểu đúng là:
B. Nếu với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên
Câu 2:
Để xác định hàm số nào nghịch biến trên , ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số. Hàm số nghịch biến trên nếu đạo hàm của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ tập số thực.
A.
Tính đạo hàm:
Phương trình đạo hàm bằng 0:
Phương trình này không có nghiệm thực vì:
Do đó, đạo hàm luôn âm, hàm số nghịch biến trên .
B.
Tính đạo hàm:
Phương trình đạo hàm bằng 0:
Đạo hàm thay đổi dấu tại , do đó hàm số không nghịch biến trên toàn bộ .
C.
Tính đạo hàm:
Đạo hàm luôn âm ngoại trừ tại điểm x = 2 (điểm bất định), do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng và , nhưng không trên toàn bộ .
D.
Tính đạo hàm:
Phương trình đạo hàm bằng 0:
Đạo hàm thay đổi dấu tại , do đó hàm số không nghịch biến trên toàn bộ .
Kết luận: Chỉ có hàm số A. nghịch biến trên .
Đáp án: A. .
Câu 3:
Để xác định hàm số nào không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một.
A.
- Hàm số này có dạng "V" ngược, với đỉnh ở điểm . Điểm là điểm cực tiểu của hàm số. Do đó, hàm số này có cực trị.
B.
- Đây là hàm số bậc 4, có dạng "U". Đạo hàm của hàm số là . Đặt để tìm điểm cực trị:
Tại , đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, do đó là điểm cực tiểu của hàm số. Do đó, hàm số này có cực trị.
C.
- Đây là hàm số bậc 3. Đạo hàm của hàm số là . Đặt để tìm điểm cực trị:
Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng:
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
Do đó, tại là điểm cực tiểu và tại là điểm cực đại. Do đó, hàm số này có cực trị.
D.
- Đây là hàm phân thức. Đạo hàm của hàm số là:
Ta thấy rằng luôn dương (vì mẫu số luôn dương và tử số là 3 dương). Do đó, đạo hàm không bao giờ bằng 0, tức là hàm số không có điểm cực trị.
Vậy hàm số không có cực trị là .
Đáp án: D.
Câu 4:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 3], ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng (1; 3):
Trong đoạn [1; 3], ta chỉ xét .
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
- Tại :
- Tại :
- Tại :
4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất:
Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là .
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 3] là . Đáp án đúng là B. .
Câu 5:
Để xác định các khẳng định đúng về tiệm cận của đồ thị hàm số , ta sẽ kiểm tra từng giới hạn đã cho:
1. Giới hạn hai bên tại điểm :
-
-
Vì cả hai giới hạn từ hai phía đều bằng nhau và hữu hạn, nên hàm số liên tục tại điểm . Do đó, đường thẳng không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2. Giới hạn khi tiến đến vô cùng:
-
-
Vì cả hai giới hạn khi tiến đến và đều bằng 2, nên đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dựa vào các phân tích trên, ta thấy rằng:
- Đường thẳng không phải là tiệm cận đứng.
- Đường thẳng là tiệm cận ngang.
- Đường thẳng không phải là tiệm cận ngang vì giới hạn khi tiến đến vô cùng không phải là 1.
- Đường thẳng không phải là tiệm cận ngang.
Vậy khẳng định đúng là:
B. Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 6:
Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức như sau:
1. Chia tử số cho mẫu số :
Kết quả của phép chia là:
2. Xét giới hạn của phần dư khi tiến đến vô cùng:
Như vậy, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là .
Đáp án đúng là: D. .
Câu 7:
Để xác định đồ thị của hàm số, chúng ta sẽ kiểm tra các tính chất cơ bản của hàm số và so sánh với các đồ thị đã cho.
1. Kiểm tra tính chẵn lẻ:
- Hàm số là hàm lẻ vì .
2. Kiểm tra giới hạn:
- Khi , .
- Khi , .
3. Kiểm tra điểm cực trị:
- Tính đạo hàm của hàm số: .
- Đặt để tìm điểm cực trị: .
- Kiểm tra dấu của đạo hàm:
- Khi , (hàm số đồng biến).
- Khi , (hàm số đồng biến).
- Do đó, hàm số không có cực đại hay cực tiểu.
4. Kiểm tra giá trị tại các điểm đặc biệt:
- .
- .
- .
Từ các tính chất trên, chúng ta thấy rằng đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua gốc tọa độ, đồng biến trên toàn bộ miền xác định và không có cực đại hay cực tiểu.
Do đó, đồ thị của hàm số là đồ thị trong Hình 1.37.
Đáp số: Đồ thị của hàm số .