giải giúp e với ạ BÀI TẬP VỀ NHÀ 14/5,(LÀM VÀO VỞ NHƯ BÀI TẬP TỰ LUẬN ),Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac13x^3-2\sqrt2x^2+8x-1,$ có đạo hàm là $f^\prime(x).$ Tập hợp những giá trị của x,để $f^\prime(x)=0$ là:,$A.~\{-2\sqrt2\}.$ $B.~\{2;\sqrt2\}.$ $C.~\{-4\sqrt2\}.$ $D.~\{2\sqrt2\}.$,Câu 2: Cho hàm số $y=3x^3+x^2+1,$ có đạo hàm là y'. Để $y^\prime\leq0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào,sau đây?,$A.~[-\frac29;0].$ $B.~[-\frac92;0].$,$C.~(-\infty;-\frac92]\cup[0;+\infty).$ $D.~(-\infty;-\frac29]\cup[0;+\infty).$,Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^4+4x^3-3x^2+2x+1$ tại điểm $x=-1.$,$A.~f^\prime(-1)=4.$ $B.~f^\prime(-1)=14.$ $C.~f^\prime(-1)=15.$ $D.~f^\prime(-1)=24.$,Câu 4: Cho hàm số $y=\frac13x^3-(2m+1)x^2-mx-4,$ có đạo hàm là $y^\prime.$ Tìm tất cả các giá trị của m để,$y^\prime\geq0$ với $\forall x\in\mathbb{R}.$,$A.~m\in(-1;-\frac14).$ $B.~m\in[-1;-\frac14].$,$C.~m\in(-\infty;-1]\cup[-\frac14;+\infty).$ $D.~m\in[-1;\frac14].$,Câu 5: Cho hàm số $y=-\frac13mx^3+(m-1)x^2-mx+3,$ có đạo hàm là y'. Tìm tất cả các giá trị của m để,phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^2_1+x^2_2=6.$,$A.~m=-1+\sqrt2;m=-1-\sqrt2.$ $B.~m=-1-\sqrt2.$,$C.~m=1-\sqrt2;m=1+\sqrt2.$ $D.~m=-1+\sqrt2.$,Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ tại điểm $x=-1.$,$A.~f^\prime(-1)=1.$ $B.~f^\prime(-1)=-\frac12.$ $C.~f^\prime(-1)=-2.$ $D.~f^\prime(-1)=0.$,Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x+2}.$,$A.~y^\prime=1+\frac3{(x+2)^2}.$ $B.~y^\prime=\frac{x^2+6x+7}{(x+2)^2}.$ $C.~y^\prime=\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}.$ $D.~y^\prime=\frac{x^2+8x+1}{(x+2)^2}.$,Câu 8: Cho hàm số $f(x)=\frac{1-3x+x^2}{x-1}.$ Giải bất phương trình $f^\prime(x)0.$,$A.~x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.$ $B.~x\in\emptyset.$ $C.~x\in(1;+\infty).$ $D.~x\in\mathbb{R}.$,Câu 9: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^3}{x-1}.$ Phương trình $f^\prime(x)=0$ có tập nghiệm S là:

Question

giải giúp e với ạ BÀI TẬP VỀ NHÀ 14/5,(LÀM VÀO VỞ NHƯ BÀI TẬP TỰ LUẬN ),Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac13x^3-2\sqrt2x^2+8x-1,$ có đạo hàm là $f^\prime(x).$ Tập hợp những giá trị của x,để $f^\prime(x)=0$ là:,$A.~\{-2\sqrt2\}.$ $B.~\{2;\sqrt2\}.$ $C.~\{-4\sqrt2\}.$ $D.~\{2\sqrt2\}.$,Câu 2: Cho hàm số $y=3x^3+x^2+1,$ có đạo hàm là y'. Để $y^\prime\leq0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào,sau đây?,$A.~[-\frac29;0].$ $B.~[-\frac92;0].$,$C.~(-\infty;-\frac92]\cup[0;+\infty).$ $D.~(-\infty;-\frac29]\cup[0;+\infty).$,Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^4+4x^3-3x^2+2x+1$ tại điểm $x=-1.$,$A.~f^\prime(-1)=4.$ $B.~f^\prime(-1)=14.$ $C.~f^\prime(-1)=15.$ $D.~f^\prime(-1)=24.$,Câu 4: Cho hàm số $y=\frac13x^3-(2m+1)x^2-mx-4,$ có đạo hàm là $y^\prime.$ Tìm tất cả các giá trị của m để,$y^\prime\geq0$ với $\forall x\in\mathbb{R}.$,$A.~m\in(-1;-\frac14).$ $B.~m\in[-1;-\frac14].$,$C.~m\in(-\infty;-1]\cup[-\frac14;+\infty).$ $D.~m\in[-1;\frac14].$,Câu 5: Cho hàm số $y=-\frac13mx^3+(m-1)x^2-mx+3,$ có đạo hàm là y'. Tìm tất cả các giá trị của m để,phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^2_1+x^2_2=6.$,$A.~m=-1+\sqrt2;m=-1-\sqrt2.$ $B.~m=-1-\sqrt2.$,$C.~m=1-\sqrt2;m=1+\sqrt2.$ $D.~m=-1+\sqrt2.$,Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ tại điểm $x=-1.$,$A.~f^\prime(-1)=1.$ $B.~f^\prime(-1)=-\frac12.$ $C.~f^\prime(-1)=-2.$ $D.~f^\prime(-1)=0.$,Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x+2}.$,$A.~y^\prime=1+\frac3{(x+2)^2}.$ $B.~y^\prime=\frac{x^2+6x+7}{(x+2)^2}.$ $C.~y^\prime=\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}.$ $D.~y^\prime=\frac{x^2+8x+1}{(x+2)^2}.$,Câu 8: Cho hàm số $f(x)=\frac{1-3x+x^2}{x-1}.$ Giải bất phương trình $f^\prime(x)>0.$,$A.~x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.$ $B.~x\in\emptyset.$ $C.~x\in(1;+\infty).$ $D.~x\in\mathbb{R}.$,Câu 9: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^3}{x-1}.$ Phương trình $f^\prime(x)=0$ có tập nghiệm S là:

Accepted Answer

Câu 1: Để tìm tập hợp những giá trị của $ x $ để $ f'(x) = 0 $, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số đã cho là: $$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2\sqrt{2}x^2 + 8x - 1 $$ Tính đạo hàm của $ f(x) $: $$ f'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 \right)' - \left( 2\sqrt{2}x^2 \right)' + (8x)' - (1)' $$ $$ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2\sqrt{2} \cdot 2x + 8 \cdot 1 - 0 $$ $$ f'(x) = x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 $$ Bây giờ, chúng ta cần giải phương trình $ f'(x) = 0 $: $$ x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 = 0 $$ Phương trình này là phương trình bậc hai. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Trong đó, $ a = 1 $, $ b = -4\sqrt{2} $, và $ c = 8 $. Thay vào công thức nghiệm: $$ x = \frac{-(-4\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 32}}{2} $$ $$ x = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2} $$ $$ x = \frac{4\sqrt{2}}{2} $$ $$ x = 2\sqrt{2} $$ Vậy tập hợp những giá trị của $ x $ để $ f'(x) = 0 $ là: $$ \{2\sqrt{2}\} $$ Đáp án đúng là: $$ D.~\{2\sqrt{2}\} $$ Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số $ y = 3x^3 + x^2 + 1 $. 2. Tìm các giá trị của $ x $ sao cho đạo hàm $ y' \leq 0 $. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y = 3x^3 + x^2 + 1 $. $$ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2 + 1) = 9x^2 + 2x $$ Bước 2: Giải bất phương trình $ y' \leq 0 $. $$ 9x^2 + 2x \leq 0 $$ Chúng ta cần tìm các giá trị của $ x $ sao cho $ 9x^2 + 2x \leq 0 $. Trước tiên, giải phương trình $ 9x^2 + 2x = 0 $: $$ 9x^2 + 2x = 0 $$ $$ x(9x + 2) = 0 $$ Từ đó, ta có hai nghiệm: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 9x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{9} $$ Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức $ 9x^2 + 2x $ trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm $ x = 0 $ và $ x = -\frac{2}{9} $: - Khi $ x < -\frac{2}{9} $, chọn $ x = -1 $: $$ 9(-1)^2 + 2(-1) = 9 - 2 = 7 > 0 $$ - Khi $ -\frac{2}{9} < x < 0 $, chọn $ x = -\frac{1}{10} $: $$ 9\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{10}\right) = 9 \cdot \frac{1}{100} - \frac{2}{10} = \frac{9}{100} - \frac{20}{100} = -\frac{11}{100} < 0 $$ - Khi $ x > 0 $, chọn $ x = 1 $: $$ 9(1)^2 + 2(1) = 9 + 2 = 11 > 0 $$ Do đó, biểu thức $ 9x^2 + 2x \leq 0 $ đúng trong khoảng $ -\frac{2}{9} \leq x \leq 0 $. Vậy tập hợp các giá trị của $ x $ sao cho $ y' \leq 0 $ là: $$ \left[-\frac{2}{9}; 0\right] $$ Đáp án đúng là: $ A.~[-\frac{2}{9}; 0] $ Câu 3: Để tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^4+4x^3-3x^2+2x+1$ tại điểm $x=-1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$. $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và từng hàm số cơ bản: $f'(x) = -4x^3 + 12x^2 - 6x + 2$ Bước 2: Thay $x = -1$ vào biểu thức đạo hàm $f'(x)$ để tính giá trị đạo hàm tại điểm đó. $f'(-1) = -4(-1)^3 + 12(-1)^2 - 6(-1) + 2$ $f'(-1) = -4(-1) + 12(1) - 6(-1) + 2$ $f'(-1) = 4 + 12 + 6 + 2$ $f'(-1) = 24$ Vậy giá trị đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = -1$ là $24$. Đáp án đúng là: $D.~f^\prime(-1)=24.$ Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số $y$. 2. Xác định điều kiện để đạo hàm $y'$ luôn không âm ($y' \geq 0$) với mọi $x \in \mathbb{R}$. 3. Giải bất phương trình liên quan đến $m$ để tìm các giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện trên. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y$: $$ y = \frac{1}{3}x^3 - (2m + 1)x^2 - mx - 4 $$ $$ y' = x^2 - 2(2m + 1)x - m $$ Bước 2: Để $y' \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần đảm bảo rằng phương trình bậc hai $x^2 - 2(2m + 1)x - m = 0$ không có nghiệm hoặc có nghiệm kép (đồng thời hệ số của $x^2$ phải dương). Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$. Trong trường hợp này, ta cần $\Delta \leq 0$ để đảm bảo phương trình không có nghiệm hoặc có nghiệm kép. Bước 3: Tính $\Delta$ của phương trình $x^2 - 2(2m + 1)x - m = 0$: $$ a = 1, \quad b = -2(2m + 1), \quad c = -m $$ $$ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(2m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) $$ $$ \Delta = 4(2m + 1)^2 + 4m $$ $$ \Delta = 4(4m^2 + 4m + 1) + 4m $$ $$ \Delta = 16m^2 + 16m + 4 + 4m $$ $$ \Delta = 16m^2 + 20m + 4 $$ Để $y' \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần $\Delta \leq 0$: $$ 16m^2 + 20m + 4 \leq 0 $$ Bước 4: Giải bất phương trình $16m^2 + 20m + 4 \leq 0$: $$ 16m^2 + 20m + 4 = 0 $$ $$ 4m^2 + 5m + 1 = 0 $$ $$ (4m + 1)(m + 1) = 0 $$ Các nghiệm của phương trình là: $$ 4m + 1 = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{4} $$ $$ m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1 $$ Do đó, ta có: $$ 4m^2 + 5m + 1 \leq 0 \Rightarrow -1 \leq m \leq -\frac{1}{4} $$ Vậy, các giá trị của $m$ để $y' \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ là: $$ m \in [-1; -\frac{1}{4}] $$ Đáp án đúng là: $B.~m\in[-1;-\frac14].$ Đáp số: $B.~m\in[-1;-\frac14].$ Câu 5: Đạo hàm của hàm số đã cho là: $$ y' = -mx^2 + 2(m-1)x - m $$ Phương trình $ y' = 0 $ trở thành: $$ -mx^2 + 2(m-1)x - m = 0 $$ Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt $ x_1 $ và $ x_2 $, ta cần điều kiện: $$ \Delta > 0 $$ $$ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4(-m)(-m) = 4(m-1)^2 - 4m^2 = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 = 4(1 - 2m) $$ Do đó: $$ 4(1 - 2m) > 0 $$ $$ 1 - 2m > 0 $$ $$ m < \frac{1}{2} $$ Theo định lý Vi-et, ta có: $$ x_1 + x_2 = \frac{2(m-1)}{-m} = \frac{2(1-m)}{m} $$ $$ x_1 x_2 = \frac{-m}{-m} = 1 $$ Ta biết rằng: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$ Thay vào: $$ x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{2(1-m)}{m}\right)^2 - 2 \cdot 1 = 6 $$ $$ \left(\frac{2(1-m)}{m}\right)^2 - 2 = 6 $$ $$ \left(\frac{2(1-m)}{m}\right)^2 = 8 $$ $$ \frac{4(1-m)^2}{m^2} = 8 $$ $$ 4(1-m)^2 = 8m^2 $$ $$ (1-m)^2 = 2m^2 $$ $$ 1 - 2m + m^2 = 2m^2 $$ $$ 1 - 2m + m^2 - 2m^2 = 0 $$ $$ -m^2 - 2m + 1 = 0 $$ $$ m^2 + 2m - 1 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ Vì $ m < \frac{1}{2} $, ta loại $ m = -1 + \sqrt{2} $. Vậy giá trị của $ m $ là: $$ m = -1 - \sqrt{2} $$ Đáp án đúng là: B. $ m = -1 - \sqrt{2} $. Câu 6: Để tính đạo hàm của hàm số $ f(x) = \frac{2x}{x-1} $ tại điểm $ x = -1 $, chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Trong đó: - $ u(x) = 2x $ - $ v(x) = x - 1 $ Bước 1: Tính đạo hàm của $ u(x) $ và $ v(x) $: - $ u'(x) = 2 $ - $ v'(x) = 1 $ Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2(x-1) - 2x \cdot 1}{(x-1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} $$ Bước 3: Thay $ x = -1 $ vào biểu thức đạo hàm: $$ f'(-1) = \frac{-2}{(-1-1)^2} $$ $$ f'(-1) = \frac{-2}{(-2)^2} $$ $$ f'(-1) = \frac{-2}{4} $$ $$ f'(-1) = -\frac{1}{2} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ B.~f^\prime(-1) = -\frac{1}{2}. $$ Câu 7: Để tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x+2}$, ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó: - $ u = x^2 + 2x - 3 $ - $ v = x + 2 $ Ta tính đạo hàm của $ u $ và $ v $: - $ u' = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2 $ - $ v' = (x + 2)' = 1 $ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(2x + 2)(x + 2) - (x^2 + 2x - 3)(1)}{(x + 2)^2} $$ Ta thực hiện phép nhân và trừ: $$ y' = \frac{(2x + 2)(x + 2) - (x^2 + 2x - 3)}{(x + 2)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 4x + 2x + 4 - x^2 - 2x + 3}{(x + 2)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 4x + 2x + 4 - x^2 - 2x + 3}{(x + 2)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 4x + 7}{(x + 2)^2} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ B.~y^\prime=\frac{x^2+4x+7}{(x+2)^2}. $$ Câu 8: Để giải bất phương trình $ f'(x) > 0 $, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số đã cho là: $$ f(x) = \frac{1 - 3x + x^2}{x - 1} $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(x) = \frac{(1 - 3x + x^2)'(x - 1) - (1 - 3x + x^2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: $$ (1 - 3x + x^2)' = -3 + 2x $$ $$ (x - 1)' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm của thương: $$ f'(x) = \frac{(-3 + 2x)(x - 1) - (1 - 3x + x^2) \cdot 1}{(x - 1)^2} $$ Rút gọn biểu thức: $$ f'(x) = \frac{-3x + 3 + 2x^2 - 2x - 1 + 3x - x^2}{(x - 1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} $$ Bây giờ, ta cần giải bất phương trình: $$ \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} > 0 $$ Ta thấy rằng mẫu số $(x - 1)^2$ luôn dương trừ khi $x = 1$. Do đó, ta chỉ cần xét dấu của tử số $x^2 - 2x + 2$. Tử số $x^2 - 2x + 2$ là một đa thức bậc hai. Ta kiểm tra xem nó có nghiệm thực hay không bằng cách tính delta: $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $$ Vì $\Delta < 0$, nên đa thức $x^2 - 2x + 2$ không có nghiệm thực và luôn dương (vì hệ số cao nhất là dương). Do đó, bất phương trình: $$ \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} > 0 $$ luôn đúng trừ khi $x = 1$ (vì mẫu số bằng 0 tại điểm này). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} $$ Đáp án đúng là: $$ A.~x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} $$ Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $. 2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số $ f(x) = \frac{x^3}{x-1} $. Ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(x) = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó, $ u = x^3 $ và $ v = x - 1 $. Tính đạo hàm của $ u $ và $ v $: $$ u' = 3x^2 $$ $$ v' = 1 $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1) - (x^3)(1)}{(x-1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 - x^3}{(x-1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x-1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{x^2(2x - 3)}{(x-1)^2} $$ Bước 2: Giải phương trình $ f'(x) = 0 $. $$ \frac{x^2(2x - 3)}{(x-1)^2} = 0 $$ Phương trình này bằng 0 khi tử số bằng 0 (vì mẫu số không thể bằng 0): $$ x^2(2x - 3) = 0 $$ Ta có hai trường hợp: 1. $ x^2 = 0 $ $$ x = 0 $$ 2. $ 2x - 3 = 0 $ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{2} $$ Vậy tập nghiệm $ S $ của phương trình $ f'(x) = 0 $ là: $$ S = \left\{ 0, \frac{3}{2} \right\} $$ Đáp số: $ S = \left\{ 0, \frac{3}{2} \right\} $