Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√7 Biết góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đã cho là a°. Tìm a. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Question

Accepted Answer

Để tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và đường cao của hình chóp:
   - Tâm O của hình vuông ABCD là giao điểm của các đường chéo AC và BD.
   - Đường cao SO của hình chóp hạ từ đỉnh S vuông góc xuống đáy ABCD tại tâm O.

2. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến tâm O:
   - Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên đường chéo AC = BD = a√2.
   - Tâm O chia đôi đường chéo, do đó OA = OB = OC = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
   - Ta có tam giác SOA vuông tại O, với SA = a√7 (cạnh bên của hình chóp).

3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA:
   $$
   SO^2 + OA^2 = SA^2
   $$
   $$
   SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (a\sqrt{7})^2
   $$
   $$
   SO^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = 7a^2
   $$
   $$
   SO^2 + \frac{a^2}{2} = 7a^2
   $$
   $$
   SO^2 = 7a^2 - \frac{a^2}{2}
   $$
   $$
   SO^2 = \frac{14a^2 - a^2}{2}
   $$
   $$
   SO^2 = \frac{13a^2}{2}
   $$
   $$
   SO = a\sqrt{\frac{13}{2}}
   $$

4. Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy:
   - Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa đường cao SO và đường thẳng OA.
   - Ta có:
     $$
     \tan(\alpha) = \frac{SO}{OA}
     $$
     $$
     \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{\frac{13}{2}}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}
     $$
     $$
     \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{\frac{13}{2}} \cdot 2}{a\sqrt{2}}
     $$
     $$
     \tan(\alpha) = \frac{2\sqrt{\frac{13}{2}}}{\sqrt{2}}
     $$
     $$
     \tan(\alpha) = \sqrt{13}
     $$

5. Tính góc α:
   $$
   \alpha = \arctan(\sqrt{13})
   $$
   - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của góc α:
     $$
     \alpha \approx 70.7^\circ
     $$

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều S.ABCD là khoảng 70.7°.