Vjvdhfduzruxdh dg Câu 12: Đồ thị trong hình sau là đồ thị của hàm số nào?,,$A.~y=\frac1{x+1}.$ $B.~y=\frac{2x+1}{x+1}.$,$C.~y=\frac{x^2-x+1}{x+1}.$ $D.~y=\frac{x^2+x+1}{x+1}.$,PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời câu hỏi. Trong,mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\ln x-2x^2,~\forall x\in(0;+\infty).$,a) Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.,$b)~f(1)=-2;f(e^2)=2-2e^4.$,c) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.," i . ii tr lớớ nhấấ và ggá trịịnhhỏ hhất của hàm số $[1;e^2]$ là $-\frac52-\ln2.$

Question

Vjvdhfduzruxdh dg Câu 12: Đồ thị trong hình sau là đồ thị của hàm số nào?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/e52c28ae14ff40e2b7bbc50907f52791.jpg />,$A.~y=\frac1{x+1}.$ $B.~y=\frac{2x+1}{x+1}.$,$C.~y=\frac{x^2-x+1}{x+1}.$ $D.~y=\frac{x^2+x+1}{x+1}.$,PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời câu hỏi. Trong,mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\ln x-2x^2,~\forall x\in(0;+\infty).$,a) Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.,$b)~f(1)=-2;f(e^2)=2-2e^4.$,c) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.,"   i .  ii  tr lớớ nhấấ và ggá trịịnhhỏ hhất của hàm số $[1;e^2]$ là $-\frac52-\ln2.$

Accepted Answer

Câu 12: Để xác định hàm số của đồ thị, ta sẽ kiểm tra từng phương án đã cho. Phương án A: $ y = \frac{1}{x + 1} $ - Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại $ x = -1 $ và đường tiệm cận ngang tại $ y = 0 $. Tuy nhiên, đồ thị này không có điểm cực đại hoặc cực tiểu, và nó không phù hợp với đồ thị đã cho. Phương án B: $ y = \frac{2x + 1}{x + 1} $ - Ta có thể viết lại hàm số này dưới dạng: $$ y = \frac{2x + 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1} $$ - Đồ thị của hàm số này cũng có đường tiệm cận đứng tại $ x = -1 $ và đường tiệm cận ngang tại $ y = 2 $. Tuy nhiên, đồ thị này không có điểm cực đại hoặc cực tiểu, và nó không phù hợp với đồ thị đã cho. Phương án C: $ y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} $ - Ta có thể viết lại hàm số này dưới dạng: $$ y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = x - 2 + \frac{3}{x + 1} $$ - Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại $ x = -1 $ và đường tiệm cận chéo tại $ y = x - 2 $. Tuy nhiên, đồ thị này không có điểm cực đại hoặc cực tiểu, và nó không phù hợp với đồ thị đã cho. Phương án D: $ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} $ - Ta có thể viết lại hàm số này dưới dạng: $$ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} $$ - Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại $ x = -1 $ và đường tiệm cận chéo tại $ y = x $. Ta thấy rằng đồ thị này có một điểm cực tiểu tại $ x = 0 $ và $ y = 1 $. Do đó, đồ thị trong hình là đồ thị của hàm số $ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} $. Đáp án đúng là: D. $ y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} $ Câu 1: Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Kiểm tra tính đồng biến của hàm số Hàm số $f(x) = \ln x - 2x^2$ có tập xác định là $(0; +\infty)$. Ta tính đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x - 2x^2) = \frac{1}{x} - 4x $$ Để kiểm tra tính đồng biến, ta cần xem xét dấu của $f'(x)$: $$ f'(x) = \frac{1}{x} - 4x $$ Ta giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị: $$ \frac{1}{x} - 4x = 0 $$ $$ \frac{1}{x} = 4x $$ $$ 1 = 4x^2 $$ $$ x^2 = \frac{1}{4} $$ $$ x = \frac{1}{2} \quad (\text{vì } x > 0) $$ Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{2}$. Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng $(0; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; +\infty)$: - Khi $x \in (0; \frac{1}{2})$, ta có $\frac{1}{x} > 4x$, do đó $f'(x) > 0$. - Khi $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$, ta có $\frac{1}{x} < 4x$, do đó $f'(x) < 0$. Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0; \frac{1}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; +\infty)$. Do đó, hàm số không đồng biến trên toàn bộ tập xác định $(0; +\infty)$. b) Tính giá trị của hàm số tại các điểm - Tính $f(1)$: $$ f(1) = \ln 1 - 2 \cdot 1^2 = 0 - 2 = -2 $$ - Tính $f(e^2)$: $$ f(e^2) = \ln(e^2) - 2(e^2)^2 = 2 - 2e^4 $$ c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; e^2]$ Trước tiên, ta tính giá trị của hàm số tại các biên của đoạn: - $f(1) = -2$ - $f(e^2) = 2 - 2e^4$ Tiếp theo, ta kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm cực trị nằm trong đoạn $[1; e^2]$. Ta đã biết rằng hàm số có điểm cực đại tại $x = \frac{1}{2}$, nhưng điểm này không thuộc đoạn $[1; e^2]$. Do đó, ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm số tại các biên của đoạn: - $f(1) = -2$ - $f(e^2) = 2 - 2e^4$ Vì $2 - 2e^4$ là một số âm rất lớn (do $e^4$ lớn hơn 1), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; e^2]$ là $2 - 2e^4$ và giá trị lớn nhất là $-2$. Kết luận - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1; e^2]$ là $-2$, đạt được khi $x = 1$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; e^2]$ là $2 - 2e^4$, đạt được khi $x = e^2$. Đáp số: - Giá trị lớn nhất: $-2$ - Giá trị nhỏ nhất: $2 - 2e^4$