đúng sai ạ Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ có bảng biến thiên như hình vẽ:,,A. Tiệm cận đứng của đồ thị $x=1$ B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$,C. Đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x-b-c}{m(x-1)^2}$ D. Tiệm cận xiên của đồ thị $y=x$,Câu 14. Một chất điểm chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_b(m/s);$ ; sau 3 giây chuyển động thì gặp chướng,ngại vật nên giảm tốc độ với vận tốc $v(t)=-2t+a(m/s)$ ccoođếến khi dừn hẳẳ. ổổg qquãng đường ii chuyển,của vật là 55m..,A. Sau 4 giây, vật di chuyển được quãng đường $4v_0$,B. Sau 5 giây, vật di chuyển được quãng đường $\int^5_0(-2t+a)dt$,$C.~a=v_0+6$,$D.~v_0

Question

đúng sai ạ Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ có bảng biến thiên như hình vẽ:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/577831f6e8864178b901893450a61725.jpg />,A. Tiệm cận đứng của đồ thị $x=1$ B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$,C. Đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x-b-c}{m(x-1)^2}$ D. Tiệm cận xiên của đồ thị $y=x$,Câu 14. Một chất điểm chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_b(m/s);$ ; sau 3 giây chuyển động thì gặp chướng,ngại vật nên giảm tốc độ với vận tốc $v(t)=-2t+a(m/s)$ ccoođếến khi dừn hẳẳ.  ổổg qquãng đường ii chuyển,của vật là 55m..,A. Sau 4 giây, vật di chuyển được quãng đường $4v_0$,B. Sau 5 giây, vật di chuyển được quãng đường $\int^5_0(-2t+a)dt$,$C.~a=v_0+6$,$D.~v_0<9(m/s)$,Câu 15. Trong không gian Oxyz cho tam giác $A(0;0;-1),~B(-1;1;0),~C(1;0;1)$,A. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là $(-\frac12;1;\frac12)$,$B.~AC=\sqrt3$,C. Tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó $D(-2;1;0)$,$D.~M(x;y;z)$ thỏa mãn $3MA^2+2MB^2-MC^2$ nhỏ nhất. Khi đó $4x-2y+z-5=0$,Câu 16. Cho một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Các viên bi cùng hình dạng, kích thước và khối,lượng.,A. Số cách chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp là 15,B. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Xác suất để chọn được viên bi xanh là $\frac38$,C. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp. Xác suất chọn được hai viên khác màu là $\frac{C^2_3+C^2_3}{C^2_8}$

Accepted Answer

Câu 13.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một dựa trên thông tin từ bảng biến thiên và tính chất của hàm số.

A. Tiệm cận đứng của đồ thị $x=1$

Tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ là giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Do đó, ta có:
$$ mx + n = 0 $$
$$ x = -\frac{n}{m} $$

Theo bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng ở $x=1$. Điều này cho thấy:
$$ -\frac{n}{m} = 1 $$
$$ n = -m $$

B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$

Cực trị của hàm số phân thức $\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ xảy ra khi đạo hàm của nó bằng 0. Ta tính đạo hàm của hàm số:
$$ f'(x) = \frac{(2x+b)(mx+n) - (x^2+bx+c)m}{(mx+n)^2} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
$$ (2x+b)(mx+n) - m(x^2+bx+c) = 0 $$

Theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$. Thay $x=7$ vào phương trình trên và giải để xác nhận.

C. Đạo hàm $f'(x)=\frac{x^2-2x-b-c}{m(x-1)^2}$

Ta đã tính đạo hàm ở phần trên:
$$ f'(x) = \frac{(2x+b)(mx+n) - m(x^2+bx+c)}{(mx+n)^2} $$

Để kiểm tra, ta thay $n = -m$ vào:
$$ f'(x) = \frac{(2x+b)(mx-m) - m(x^2+bx+c)}{(mx-m)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{(2x+b)m(x-1) - m(x^2+bx+c)}{m^2(x-1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{m[(2x+b)(x-1) - (x^2+bx+c)]}{m^2(x-1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{(2x+b)(x-1) - (x^2+bx+c)}{m(x-1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x + bx - b - x^2 - bx - c}{m(x-1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - b - c}{m(x-1)^2} $$

Điều này đúng với đề bài.

D. Tiệm cận xiên của đồ thị $y=x$

Tiệm cận xiên của hàm số phân thức $\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ là đường thẳng $y=ax+b$, trong đó $a$ và $b$ là giới hạn của thương và phần dư khi chia tử số cho mẫu số.

Chia $x^2 + bx + c$ cho $mx + n$:
$$ \frac{x^2 + bx + c}{mx + n} = \frac{x^2 + bx + c}{mx - m} \approx \frac{x^2}{mx} = \frac{x}{m} $$

Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{x}{m}$ tiến đến $x$. Do đó, tiệm cận xiên là $y=x$.

Kết luận:
A. Đúng vì $x=1$ là tiệm cận đứng.
B. Đúng vì hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$.
C. Đúng vì đạo hàm đúng như đề bài.
D. Đúng vì tiệm cận xiên là $y=x$.

Do đó, tất cả các lựa chọn đều đúng.

Câu 14.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định vận tốc ban đầu $ v_0 $ và thời gian chuyển động thẳng đều.
2. Xác định vận tốc giảm dần theo thời gian và thời điểm dừng lại.
3. Tính quãng đường đã đi trong giai đoạn chuyển động thẳng đều và giai đoạn giảm tốc.
4. Kiểm tra các lựa chọn để xác định đáp án đúng.

Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu $ v_0 $ và thời gian chuyển động thẳng đều.
- Chất điểm chuyển động thẳng đều với vận tốc $ v_0 $ trong 3 giây đầu tiên.
- Quãng đường chuyển động thẳng đều: $ s_1 = v_0 \times 3 $.

Bước 2: Xác định vận tốc giảm dần theo thời gian và thời điểm dừng lại.
- Vận tốc giảm dần theo thời gian: $ v(t) = -2t + a $.
- Thời điểm dừng lại khi $ v(t) = 0 $:
$$ -2t + a = 0 $$
$$ t = \frac{a}{2} $$

Bước 3: Tính quãng đường đã đi trong giai đoạn chuyển động thẳng đều và giai đoạn giảm tốc.
- Quãng đường chuyển động thẳng đều: $ s_1 = 3v_0 $.
- Quãng đường giảm tốc:
$$ s_2 = \int_{0}^{t} (-2t + a) dt $$
$$ s_2 = \left[ -t^2 + at \right]_{0}^{t} $$
$$ s_2 = -\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a \left(\frac{a}{2}\right) $$
$$ s_2 = -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} $$
$$ s_2 = \frac{a^2}{4} $$

Tổng quãng đường:
$$ s = s_1 + s_2 $$
$$ 55 = 3v_0 + \frac{a^2}{4} $$

Bước 4: Kiểm tra các lựa chọn để xác định đáp án đúng.
- Lựa chọn A: Sau 4 giây, vật di chuyển được quãng đường $ 4v_0 $. Điều này không đúng vì sau 3 giây vật đã chuyển động thẳng đều và sau đó giảm tốc.
- Lựa chọn B: Sau 5 giây, vật di chuyển được quãng đường $ \int_{0}^{5} (-2t + a) dt $. Điều này không đúng vì sau 3 giây vật đã chuyển động thẳng đều và sau đó giảm tốc.
- Lựa chọn C: $ a = v_0 + 6 $. Điều này đúng vì khi $ t = 3 $, vận tốc giảm dần từ $ v_0 $ đến 0 trong thời gian $ t = \frac{a}{2} $, suy ra $ a = v_0 + 6 $.
- Lựa chọn D: $ v_0 < 9 \text{ m/s} $. Điều này không chắc chắn vì chưa biết giá trị cụ thể của $ v_0 $.

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{C} $$

Câu 15.
A. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là $(-\frac12;1;\frac12)$

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
$$ M = \left( \frac{0 + (-1)}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{-1 + 0}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) $$

Vậy tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là $\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)$, không phải là $\left( -\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2} \right)$.

B. AC = $\sqrt{3}$

Tính khoảng cách AC:
$$ AC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} $$

Vậy AC = $\sqrt{5}$, không phải là $\sqrt{3}$.

C. Tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó D(-2;1;0)

Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần:
$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

Tính $\overrightarrow{AB}$:
$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0, 1 - 0, 0 - (-1)) = (-1, 1, 1) $$

Giả sử D có tọa độ (x, y, z). Ta có:
$$ \overrightarrow{DC} = C - D = (1 - x, 0 - y, 1 - z) $$

Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta cần:
$$ (-1, 1, 1) = (1 - x, -y, 1 - z) $$

Từ đây suy ra:
$$ 1 - x = -1 \Rightarrow x = 2 $$
$$ -y = 1 \Rightarrow y = -1 $$
$$ 1 - z = 1 \Rightarrow z = 0 $$

Vậy D có tọa độ (2, -1, 0), không phải là (-2, 1, 0).

D. M(x, y, z) thỏa mãn 3MA^2 + 2MB^2 - MC^2 nhỏ nhất. Khi đó 4x - 2y + z - 5 = 0

Tính các khoảng cách:
$$ MA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z + 1)^2 = x^2 + y^2 + (z + 1)^2 $$
$$ MB^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 $$
$$ MC^2 = (x - 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 $$

Thay vào biểu thức:
$$ 3MA^2 + 2MB^2 - MC^2 = 3(x^2 + y^2 + (z + 1)^2) + 2((x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2) - ((x - 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2) $$

Phát triển và rút gọn:
$$ = 3(x^2 + y^2 + z^2 + 2z + 1) + 2(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2) - (x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 - 2z + 1) $$
$$ = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 6z + 3 + 2x^2 + 4x + 2 + 2y^2 - 4y + 2 + 2z^2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 - z^2 + 2z - 1 $$
$$ = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4x - 4y + 5 $$

Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần:
$$ 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 + 8z + 4x - 4y + 5 $$

Đạo hàm theo x, y, z và đặt bằng 0:
$$ \frac{\partial}{\partial x} = 8x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $$
$$ \frac{\partial}{\partial y} = 8y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{\partial}{\partial z} = 8z + 8 = 0 \Rightarrow z = -1 $$

Thay vào phương trình:
$$ 4x - 2y + z - 5 = 4(-\frac{1}{2}) - 2(\frac{1}{2}) + (-1) - 5 = -2 - 1 - 1 - 5 = -9 \neq 0 $$

Vậy phương trình đúng là:
$$ 4x - 2y + z - 5 = 0 $$

Đáp án: D.

Câu 16.
A. Số cách chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp là 8, vì tổng cộng có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh, nên có tất cả 8 viên bi.

B. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Xác suất để chọn được viên bi xanh là:
$$
P(\text{bi xanh}) = \frac{\text{số viên bi xanh}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{3}{8}
$$

C. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp. Xác suất chọn được hai viên khác màu là:
- Số cách chọn 2 viên bi từ 8 viên bi là:
$$
C^2_8 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
$$
- Số cách chọn 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh là:
$$
C^1_5 \times C^1_3 = 5 \times 3 = 15
$$
- Xác suất chọn được hai viên khác màu là:
$$
P(\text{hai viên khác màu}) = \frac{15}{28}
$$

Đáp số:
A. 8
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{15}{28}$