Giúp mình với!giải chi tiếtGiải hộ mình câu này với các bạn PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí,sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng),theo công thức sau: $y=-86x^2+86000x-18146000,$ trong đó x là số sản phẩm được bán ra.,a) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.,b) Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm,c) Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.,d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm,Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(ab0),$ đi qua điểm $A(2;0)$ và,có một tiêu điểm $F_2(\sqrt2;0).$ Khi đó:,a) Tiêu cự của elip $(E)$ bằng $\sqrt2.$,$b)~a=2$,$c)~a^2-b^2=2.$,d) Điểm $B(0;\sqrt2)$ không thuộc elip $(E).$,Câu 3: Gieo một con xúc sắc 6 mặt cân đối và đồng chất hai lần.,a) Có 6 cách để hai lần gieo đều ra số chấm giống nhau.,b) Có 6 cách để gieo được lần đầu ra mặt 6 chấm.,c) Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm.,d) Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4.,Câu 4: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ.,a) Số phần tử của không gian mẫu là $C^5_{100}.$,b) Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là $\frac12.$,c) Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ xấp xỉ bằng 0,32.,d) Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 xấp xỉ bằng 0,78.,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng.,Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá,bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng,thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất.,Câu 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{x-1}x-\frac6{x+2}+2\leq0$ là bao nhiêu?,Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét phương trình $x^2+y^2-2mx+2(m+1)y+5=0$ (m là số thực). Có,bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính không,vượt quá $2\sqrt2.$,Câu 4: Một nhóm gồm 4 bạn nam và 4 bạn nữ mua vé xem ca nhạc với 8 ghế ngồi liên tiếp nhau theo một hàng ngang.,Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?,Câu 5: Gọi S là tập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ tập $E=\{1;2;3;4;5\}.$ Chọn ngẫu nhiên,một số từ tập S . Xác xuất để số được chọn là một số chẵn là $\frac ab$ với $\frac ab$ là phân số tối giản và $a,b\in\mathbb{Z}.$,Khi đó $T=a+b$ bằng bao nhiêu?,Câu 6: An và Bình cùng chơi một trò chơi, mỗi lượt chơi một bạn đặt úp năm tấm thẻ, trong đó có hai,thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ ghi số 4, bạn còn lại chọn ngẫu nhiên ba thẻ trong năm tấm thẻ,đó. Người chọn thẻ thắng lượt chơi nếu tổng các số trên ba tấm thẻ được chọn bằng 8, ngược lại người,kia sẽ thắng. Xác suất để An thắng lượt chơi khi An là người chọn thẻ bằng $\frac ab$ với $\frac ab$ là phân số tối giản,và $a,b\in\mathbb{Z}.$ Khi đó $T=3a+b$ bằng bao nhiêu?

Question

Giúp mình với!giải chi tiếtGiải hộ mình câu này với các bạn PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí,sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng),theo công thức sau: $y=-86x^2+86000x-18146000,$ trong đó x là số sản phẩm được bán ra.,a) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.,b) Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm,c) Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.,d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm,Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),$ đi qua điểm $A(2;0)$ và,có một tiêu điểm $F_2(\sqrt2;0).$ Khi đó:,a) Tiêu cự của elip $(E)$ bằng $\sqrt2.$,$b)~a=2$,$c)~a^2-b^2=2.$,d) Điểm $B(0;\sqrt2)$ không thuộc elip $(E).$,Câu 3: Gieo một con xúc sắc 6 mặt cân đối và đồng chất hai lần.,a) Có 6 cách để hai lần gieo đều ra số chấm giống nhau.,b) Có 6 cách để gieo được lần đầu ra mặt 6 chấm.,c) Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm.,d) Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4.,Câu 4: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ.,a) Số phần tử của không gian mẫu là $C^5_{100}.$,b) Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là $\frac12.$,c) Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ xấp xỉ bằng 0,32.,d) Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 xấp xỉ bằng 0,78.,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng.,Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá,bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng,thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất.,Câu 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{x-1}x-\frac6{x+2}+2\leq0$ là bao nhiêu?,Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét phương trình $x^2+y^2-2mx+2(m+1)y+5=0$ (m là số thực). Có,bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính không,vượt quá $2\sqrt2.$,Câu 4: Một nhóm gồm 4 bạn nam và 4 bạn nữ mua vé xem ca nhạc với 8 ghế ngồi liên tiếp nhau theo một hàng ngang.,Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?,Câu 5: Gọi S là tập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ tập $E=\{1;2;3;4;5\}.$ Chọn ngẫu nhiên,một số từ tập S . Xác xuất để số được chọn là một số chẵn là $\frac ab$ với $\frac ab$ là phân số tối giản và $a,b\in\mathbb{Z}.$,Khi đó $T=a+b$ bằng bao nhiêu?,Câu 6: An và Bình cùng chơi một trò chơi, mỗi lượt chơi một bạn đặt úp năm tấm thẻ, trong đó có hai,thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ ghi số 4, bạn còn lại chọn ngẫu nhiên ba thẻ trong năm tấm thẻ,đó. Người chọn thẻ thắng lượt chơi nếu tổng các số trên ba tấm thẻ được chọn bằng 8, ngược lại người,kia sẽ thắng. Xác suất để An thắng lượt chơi khi An là người chọn thẻ bằng $\frac ab$ với $\frac ab$ là phân số tối giản,và $a,b\in\mathbb{Z}.$ Khi đó $T=3a+b$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của $ x $ sao cho lợi nhuận $ y $ là âm (doanh nghiệp bị lỗ) và dương (doanh nghiệp có lãi). Bước 1: Xác định các giá trị của $ x $ làm cho $ y = 0 $. Điều này tương đương với việc giải phương trình: $$ -86x^2 + 86000x - 18146000 = 0 $$ Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho -86 để đơn giản hóa: $$ x^2 - 1000x + 211000 = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Trong đó, $ a = 1 $, $ b = -1000 $, và $ c = 211000 $. Tính delta ($ \Delta $): $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-1000)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 211000 = 1000000 - 844000 = 156000 $$ Tính các nghiệm: $$ x_1 = \frac{1000 + \sqrt{156000}}{2} \approx \frac{1000 + 395}{2} = 697.5 $$ $$ x_2 = \frac{1000 - \sqrt{156000}}{2} \approx \frac{1000 - 395}{2} = 302.5 $$ Bước 4: Xác định khoảng giá trị của $ x $ làm cho $ y < 0 $ (doanh nghiệp bị lỗ) và $ y > 0 $ (doanh nghiệp có lãi): - Doanh nghiệp bị lỗ khi $ x < 302.5 $ hoặc $ x > 697.5 $. - Doanh nghiệp có lãi khi $ 302.5 < x < 697.5 $. Bước 5: Kết luận: - Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm. - Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm. Vậy đáp án đúng là: d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu một. Phát biểu a: Tiêu cự của elip (E) bằng $\sqrt{2}$. Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Biết rằng một tiêu điểm là $F_2(\sqrt{2}, 0)$, ta cần biết tọa độ của tiêu điểm còn lại để tính tiêu cự. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta chưa có đủ dữ liệu để xác định tiêu cự. Do đó, ta chưa thể kết luận phát biểu này. Phát biểu b: $a = 2$. Elip (E) đi qua điểm $A(2, 0)$. Thay tọa độ của điểm A vào phương trình elip: $$ \frac{2^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{4}{a^2} = 1 \implies a^2 = 4 \implies a = 2. $$ Vậy phát biểu b đúng. Phát biểu c: $a^2 - b^2 = 2$. Biết rằng $a = 2$, ta có $a^2 = 4$. Elip có một tiêu điểm là $F_2(\sqrt{2}, 0)$. Ta biết rằng khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c$, và $c = \sqrt{2}$. Theo công thức liên quan đến tiêu điểm của elip: $$ c^2 = a^2 - b^2 \implies (\sqrt{2})^2 = 4 - b^2 \implies 2 = 4 - b^2 \implies b^2 = 2. $$ Do đó, $a^2 - b^2 = 4 - 2 = 2$. Vậy phát biểu c đúng. Phát biểu d: Điểm $B(0, \sqrt{2})$ không thuộc elip (E). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình elip: $$ \frac{0^2}{4} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 0 + 1 = 1. $$ Vì phương trình đúng, nên điểm $B(0, \sqrt{2})$ thuộc elip (E). Vậy phát biểu d sai. Kết luận: - Phát biểu a chưa thể kết luận. - Phát biểu b đúng. - Phát biểu c đúng. - Phát biểu d sai. Vậy các phát biểu đúng là b và c. Câu 3: a) Có 6 cách để hai lần gieo đều ra số chấm giống nhau: - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 2 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 2 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 3 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 3 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 4 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 4 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 5 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 5 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai cũng gieo ra mặt 6 chấm. b) Có 6 cách để gieo được lần đầu ra mặt 6 chấm: - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 2 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 3 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 4 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 5 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 6 chấm. c) Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm: - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 2 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 3 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 4 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 5 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 1 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 6 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 2 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 3 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 4 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 5 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. - Lần thứ nhất gieo ra mặt 6 chấm, lần thứ hai gieo ra mặt 1 chấm. d) Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4: - Tổng số chấm là 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) - Tổng số chấm là 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) - Tổng số chấm là 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) - Tổng số chấm là 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) - Tổng số chấm là 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) - Tổng số chấm là 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) - Tổng số chấm là 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) - Tổng số chấm là 11: (5, 6), (6, 5) - Tổng số chấm là 12: (6, 6) Tổng cộng có 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 33 cách. Câu 4: a) Số phần tử của không gian mẫu là $C^5_{100}.$ b) Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là $\frac12.$ c) Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ xấp xỉ bằng 0,32. d) Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 xấp xỉ bằng 0,78. Lập luận từng bước: a) Số phần tử của không gian mẫu là $C^5_{100}.$ - Ta có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. - Số cách chọn ngẫu nhiên 5 thẻ từ 100 thẻ là $C^5_{100}.$ b) Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là $\frac12.$ - Có 50 số chẵn trong khoảng từ 1 đến 100. - Số cách chọn 5 thẻ đều mang số chẵn là $C^5_{50}.$ - Xác suất để 5 thẻ lấy ra đều mang số chẵn là: $$ P(\text{5 thẻ đều chẵn}) = \frac{C^5_{50}}{C^5_{100}} $$ c) Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ xấp xỉ bằng 0,32. - Có 50 số chẵn và 50 số lẻ trong khoảng từ 1 đến 100. - Số cách chọn 2 thẻ mang số chẵn là $C^2_{50}.$ - Số cách chọn 3 thẻ mang số lẻ là $C^3_{50}.$ - Số cách chọn 5 thẻ có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ là $C^2_{50} \times C^3_{50}.$ - Xác suất để 5 thẻ lấy ra có 2 thẻ mang số chẵn và 3 thẻ mang số lẻ là: $$ P(\text{2 thẻ chẵn và 3 thẻ lẻ}) = \frac{C^2_{50} \times C^3_{50}}{C^5_{100}} \approx 0,32 $$ d) Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 xấp xỉ bằng 0,78. - Có 33 số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 100. - Số cách chọn 5 thẻ không có số nào chia hết cho 3 là $C^5_{67}.$ - Xác suất để 5 thẻ lấy ra không có số nào chia hết cho 3 là: $$ P(\text{không có số chia hết cho 3}) = \frac{C^5_{67}}{C^5_{100}} $$ - Xác suất để có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 là: $$ P(\text{ít nhất một số chia hết cho 3}) = 1 - P(\text{không có số chia hết cho 3}) \approx 0,78 $$ Câu 1: Giả sử cửa hàng giảm giá bán mỗi máy tính xách tay là $ n \times 500000 $ đồng (với $ n $ là số tự nhiên). Khi đó, giá bán mới của mỗi máy tính xách tay là: $$ 18 - n \times 0.5 \text{ (triệu đồng)} $$ Số máy tính bán được trong một tháng sẽ là: $$ 20 + 5n \text{ (cái)} $$ Lợi nhuận từ việc bán mỗi máy tính xách tay là: $$ (18 - n \times 0.5) - 15 = 3 - n \times 0.5 \text{ (triệu đồng)} $$ Tổng lợi nhuận từ việc bán tất cả máy tính trong một tháng là: $$ (3 - n \times 0.5) \times (20 + 5n) $$ Ta cần tìm giá trị của $ n $ sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất. Ta có biểu thức tổng lợi nhuận: $$ f(n) = (3 - 0.5n)(20 + 5n) $$ $$ f(n) = 60 + 15n - 10n - 2.5n^2 $$ $$ f(n) = 60 + 5n - 2.5n^2 $$ Để tìm giá trị lớn nhất của $ f(n) $, ta sử dụng phương pháp tìm cực đại của hàm bậc hai. Biểu thức $ f(n) = -2.5n^2 + 5n + 60 $ là một hàm bậc hai có dạng $ ax^2 + bx + c $ với $ a = -2.5 $, $ b = 5 $, và $ c = 60 $. Giá trị cực đại của hàm bậc hai xảy ra tại: $$ n = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \times (-2.5)} = 1 $$ Do đó, giá trị của $ n $ là 1. Vậy giá bán mới của mỗi máy tính xách tay là: $$ 18 - 1 \times 0.5 = 17.5 \text{ (triệu đồng)} $$ Vậy giá bán mỗi máy tính xách tay để lợi nhuận thu được là cao nhất là 17.5 triệu đồng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $ x \neq 0 $ - $ x \neq -2 $ 2. Quy đồng mẫu số và biến đổi bất phương trình: $$ \frac{x-1}{x} - \frac{6}{x+2} + 2 \leq 0 $$ Quy đồng mẫu số chung: $$ \frac{(x-1)(x+2) - 6x + 2x(x+2)}{x(x+2)} \leq 0 $$ Thực hiện phép nhân và cộng: $$ \frac{x^2 + 2x - x - 2 - 6x + 2x^2 + 4x}{x(x+2)} \leq 0 $$ Gộp các hạng tử: $$ \frac{3x^2 - x - 2}{x(x+2)} \leq 0 $$ 3. Phân tích tử số thành nhân tử: $$ 3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1) $$ Vậy bất phương trình trở thành: $$ \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} \leq 0 $$ 4. Xác định các điểm giao và dấu của các nhân tử: - Các điểm giao: $ x = -\frac{2}{3}, x = 0, x = -2, x = 1 $ - Xét dấu của các nhân tử trong các khoảng: - $ x < -2 $: $ (3x + 2) < 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) < 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ - $ -2 < x < -\frac{2}{3} $: $ (3x + 2) < 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} < 0 $ - $ -\frac{2}{3} < x < 0 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) < 0, x < 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ - $ 0 < x < 1 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) < 0, x > 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} < 0 $ - $ x > 1 $: $ (3x + 2) > 0, (x - 1) > 0, x > 0, (x + 2) > 0 $ $\Rightarrow \frac{(3x + 2)(x - 1)}{x(x + 2)} > 0 $ 5. Xác định các nghiệm nguyên: - Từ bảng xét dấu, ta thấy các khoảng thỏa mãn bất phương trình là $ -2 < x < -\frac{2}{3} $ và $ 0 < x < 1 $. - Các số nguyên trong các khoảng này là $ x = -1 $ và $ x = 0 $. 6. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - $ x = -1 $ thỏa mãn ĐKXĐ. - $ x = 0 $ không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy, số nghiệm nguyên của bất phương trình là $ x = -1 $. Đáp số: Số nghiệm nguyên là 1. Câu 3: Để phương trình $x^2 + y^2 - 2mx + 2(m+1)y + 5 = 0$ là phương trình của một đường tròn, ta cần hoàn thành bình phương ở cả hai vế. Ta viết lại phương trình dưới dạng: $$ x^2 - 2mx + y^2 + 2(m+1)y + 5 = 0 $$ Hoàn thành bình phương: $$ (x - m)^2 - m^2 + (y + (m+1))^2 - (m+1)^2 + 5 = 0 $$ $$ (x - m)^2 + (y + (m+1))^2 = m^2 + (m+1)^2 - 5 $$ $$ (x - m)^2 + (y + (m+1))^2 = m^2 + m^2 + 2m + 1 - 5 $$ $$ (x - m)^2 + (y + (m+1))^2 = 2m^2 + 2m - 4 $$ Phương trình này là phương trình của một đường tròn tâm $(m, -(m+1))$ và bán kính $r$ thỏa mãn: $$ r^2 = 2m^2 + 2m - 4 $$ Để đường tròn có bán kính không vượt quá $2\sqrt{2}$, ta cần: $$ r \leq 2\sqrt{2} $$ $$ r^2 \leq (2\sqrt{2})^2 $$ $$ 2m^2 + 2m - 4 \leq 8 $$ $$ 2m^2 + 2m - 12 \leq 0 $$ $$ m^2 + m - 6 \leq 0 $$ Giải bất phương trình $m^2 + m - 6 \leq 0$: $$ m^2 + m - 6 = 0 $$ $$ (m + 3)(m - 2) = 0 $$ $$ m = -3 \text{ hoặc } m = 2 $$ Bất phương trình $m^2 + m - 6 \leq 0$ đúng trong khoảng: $$ -3 \leq m \leq 2 $$ Các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng này là: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$. Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Đáp số: 6 giá trị nguyên của $m$. Câu 4: Để các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau, ta có thể sắp xếp theo hai trường hợp sau: 1. Trường hợp đầu tiên, bắt đầu từ bên trái là một bạn nam: - Có 4 bạn nam, do đó có 4 cách chọn bạn nam ngồi ở vị trí đầu tiên. - Tiếp theo, có 4 bạn nữ, do đó có 4 cách chọn bạn nữ ngồi ở vị trí thứ hai. - Sau đó, còn lại 3 bạn nam, do đó có 3 cách chọn bạn nam ngồi ở vị trí thứ ba. - Tiếp tục, còn lại 3 bạn nữ, do đó có 3 cách chọn bạn nữ ngồi ở vị trí thứ tư. - Cứ như vậy, ta sẽ có các cách chọn lần lượt là 2, 2, 1, 1. Vậy tổng số cách xếp chỗ ngồi trong trường hợp này là: $$ 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 576 $$ 2. Trường hợp thứ hai, bắt đầu từ bên trái là một bạn nữ: - Có 4 bạn nữ, do đó có 4 cách chọn bạn nữ ngồi ở vị trí đầu tiên. - Tiếp theo, có 4 bạn nam, do đó có 4 cách chọn bạn nam ngồi ở vị trí thứ hai. - Sau đó, còn lại 3 bạn nữ, do đó có 3 cách chọn bạn nữ ngồi ở vị trí thứ ba. - Tiếp tục, còn lại 3 bạn nam, do đó có 3 cách chọn bạn nam ngồi ở vị trí thứ tư. - Cứ như vậy, ta sẽ có các cách chọn lần lượt là 2, 2, 1, 1. Vậy tổng số cách xếp chỗ ngồi trong trường hợp này cũng là: $$ 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 576 $$ Tổng cộng, số cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau là: $$ 576 + 576 = 1152 $$ Đáp số: 1152 cách Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ tập $ E = \{1, 2, 3, 4, 5\} $. 2. Tìm số lượng các số chẵn trong tập S. 3. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn. 4. Rút gọn phân số xác suất và tìm $ T = a + b $. Bước 1: Tìm số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ tập $ E $ - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 5 cách chọn (vì có 5 chữ số trong tập $ E $). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 4 cách chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn). - Chọn chữ số hàng chục: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 2 cách chọn (vì đã chọn 3 chữ số cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục). Số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau: $$ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 $$ Bước 2: Tìm số lượng các số chẵn trong tập S Một số chẵn có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4. - Chữ số hàng đơn vị là 2: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 4 cách chọn (vì không thể chọn 2). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn). - Chọn chữ số hàng chục: Có 2 cách chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm). Số lượng các số chẵn có chữ số hàng đơn vị là 2: $$ 4 \times 3 \times 2 = 24 $$ - Chữ số hàng đơn vị là 4: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 4 cách chọn (vì không thể chọn 4). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn). - Chọn chữ số hàng chục: Có 2 cách chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm). Số lượng các số chẵn có chữ số hàng đơn vị là 4: $$ 4 \times 3 \times 2 = 24 $$ Tổng số lượng các số chẵn: $$ 24 + 24 = 48 $$ Bước 3: Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn Xác suất để số được chọn là một số chẵn: $$ P = \frac{\text{số lượng các số chẵn}}{\text{số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} $$ Bước 4: Rút gọn phân số xác suất và tìm $ T = a + b $ Phân số xác suất đã rút gọn là $ \frac{2}{5} $. Vậy $ a = 2 $ và $ b = 5 $. Tổng $ T = a + b $: $$ T = 2 + 5 = 7 $$ Đáp số: $ T = 7 $ Câu 6: Để tính xác suất An thắng lượt chơi khi An là người chọn thẻ, ta cần xác định số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp có thể xảy ra. Trước hết, ta liệt kê tất cả các cách chọn 3 trong 5 tấm thẻ: - Chọn 3 trong 5 tấm thẻ có thể xảy ra theo công thức tổ hợp: $ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 $ cách. Tiếp theo, ta xác định các trường hợp thuận lợi, tức là các trường hợp tổng các số trên 3 tấm thẻ bằng 8: - Các trường hợp có thể xảy ra: - Chọn 2, 2, 4: Tổng là 2 + 2 + 4 = 8 - Chọn 2, 3, 3: Tổng là 2 + 3 + 3 = 8 Như vậy, có 2 trường hợp thuận lợi. Xác suất An thắng lượt chơi là: $$ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$ Phân số tối giản là $\frac{1}{5}$, do đó $a = 1$ và $b = 5$. Cuối cùng, ta tính $T = 3a + b$: $$ T = 3 \times 1 + 5 = 3 + 5 = 8 $$ Vậy $T = 8$.