G dmdmdndnd d d d dnd h HSA502: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A,$A,~AB=2,$,SA vuông góc với đáy và $SA=1.$ Gọi I là trung điểm AB . Khoảng,$AC=4,~SA$,cách giữa SI, BC là,$A.~\frac{\sqrt6}3$ $B.~\frac{\sqrt3}3$ $C.~\frac23$ $D.~\frac12$

Question

G    dmdmdndnd d d d dnd h HSA502: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A,$A,~AB=2,$,SA vuông góc với đáy và $SA=1.$ Gọi I là trung điểm AB . Khoảng,$AC=4,~SA$,cách giữa SI, BC là,$A.~\frac{\sqrt6}3$ $B.~\frac{\sqrt3}3$ $C.~\frac23$ $D.~\frac12$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số đã cho:
   - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = 2 và AC = 4.
   - SA vuông góc với đáy và SA = 1.
   - I là trung điểm của AB.

2. Tính khoảng cách giữa SI và BC:
   - Ta cần tìm khoảng cách giữa đường thẳng SI và đường thẳng BC.

3. Xác định tọa độ các điểm:
   - Gọi A là gốc tọa độ (0, 0, 0).
   - B có tọa độ (2, 0, 0).
   - C có tọa độ (0, 4, 0).
   - S có tọa độ (0, 0, 1).

4. Tìm tọa độ của I:
   - I là trung điểm của AB, nên tọa độ của I là $\left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0, 0)$.

5. Viết phương trình đường thẳng SI:
   - Đường thẳng SI đi qua điểm S(0, 0, 1) và I(1, 0, 0).
   - Vector SI = (1, 0, -1).

6. Viết phương trình đường thẳng BC:
   - Đường thẳng BC đi qua điểm B(2, 0, 0) và C(0, 4, 0).
   - Vector BC = (-2, 4, 0).

7. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và BC:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và BC được tính bằng công thức:
     $$
     d = \frac{|(\vec{SI} \times \vec{BC}) \cdot \vec{SB}|}{|\vec{SI} \times \vec{BC}|}
     $$
   - Vector SB = (2, 0, -1).

8. Tính vector tích $\vec{SI} \times \vec{BC}$:
   $$
   \vec{SI} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & 0 & -1 \
   -2 & 4 & 0
   \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 4)\mathbf{i} - (1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-2))\mathbf{j} + (1 \cdot 4 - 0 \cdot (-2))\mathbf{k} = (4, 2, 4)
   $$

9. Tính độ dài của vector $\vec{SI} \times \vec{BC}$:
   $$
   |\vec{SI} \times \vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6
   $$

10. Tính tích vô hướng $(\vec{SI} \times \vec{BC}) \cdot \vec{SB}$:
    $$
    (\vec{SI} \times \vec{BC}) \cdot \vec{SB} = (4, 2, 4) \cdot (2, 0, -1) = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 8 + 0 - 4 = 4
    $$

11. Tính khoảng cách:
    $$
    d = \frac{|4|}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
    $$

Vậy khoảng cách giữa SI và BC là $\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: $C.~\frac{2}{3}$