hrlppppppppppp Câu 24. Hàm số $y=\frac2{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;+\infty)$ $B.~(0;+\infty)$,$C.~(-\infty;0)$ $D.~(-1;1)$,Câu 25. Hàm số $y=\sqrt{x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng,$A.~(\frac12;1).$ $B.~(0;\frac12).$ $C.~(-\infty;0).$,$D.~(1;+\infty).$

Question

Accepted Answer

Câu 24. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{2}{x^2 + 1} $, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và tìm các khoảng mà đạo hàm âm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y = \frac{2}{x^2 + 1} $. Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \left( \frac{2}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(2)'(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $ y' $. Ta thấy rằng $ (x^2 + 1)^2 > 0 $ với mọi $ x $. Do đó, dấu của đạo hàm $ y' $ phụ thuộc vào dấu của tử số $ -4x $. - Khi $ x > 0 $, ta có $ -4x < 0 $, do đó $ y' < 0 $. - Khi $ x < 0 $, ta có $ -4x > 0 $, do đó $ y' > 0 $. Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến của hàm số. Hàm số $ y = \frac{2}{x^2 + 1} $ nghịch biến trên khoảng $ (0; +\infty) $. Vậy đáp án đúng là: $$ B.~(0; +\infty) $$ Câu 25. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \sqrt{x - x^2} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số $ y = \sqrt{x - x^2} $ có nghĩa khi $ x - x^2 \geq 0 $. Ta giải bất phương trình: $$ x - x^2 \geq 0 \implies x(1 - x) \geq 0 $$ Bất phương trình này đúng khi $ x $ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (bao gồm cả hai đầu mút): $$ 0 \leq x \leq 1 $$ Vậy tập xác định của hàm số là $ [0, 1] $. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm của $ y = \sqrt{x - x^2} $: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x - x^2} \right) $$ Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2) $$ Tính đạo hàm của $ x - x^2 $: $$ \frac{d}{dx}(x - x^2) = 1 - 2x $$ Do đó: $$ y' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm: Để hàm số nghịch biến, đạo hàm $ y' $ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: $$ y' < 0 \implies \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}} < 0 $$ Vì $ 2\sqrt{x - x^2} > 0 $ trên khoảng $ (0, 1) $, nên ta chỉ cần xét dấu của tử số $ 1 - 2x $: $$ 1 - 2x < 0 \implies x > \frac{1}{2} $$ Kết hợp với tập xác định $ [0, 1] $, ta có: $$ \frac{1}{2} < x \leq 1 $$ Vậy hàm số $ y = \sqrt{x - x^2} $ nghịch biến trên khoảng $ \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $. Do đó, đáp án đúng là: $$ A.~\left( \frac{1}{2}; 1 \right) $$