Giải giúp tôi học sinh là $k=0,2$ Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao aurcu uvn + nh. .........,8 ngày (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 2. Cho hình chóp S' ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,~AB=a,~SA=a\sqrt3$ vai,vuông góc với đáy. Số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ l bằng bao nhiêu độ?,Câu 3. Cho khối chóp có diện tích đáy $S=7$ và chiều $cao~h=6.$ Thể tích khối chóp đã cho bằng,bao nhiêu?,Câu 4. Cho hàm số $y=x^3-2x+1$ có đồ thị $(C)$ Hệ số góc của tiếp tuyến với tại điểm,có hoành độ bằng 1 bằng bao nhiêu?,PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{2x+3}$,Câu 2. Hai xạ thủ bắn vào bia một cách độc lập với nhau, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất,bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac13$ và $\frac15$ Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một xạ thủ,không bắn trúng bia".,Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 $SA\bot(ABC),~SA=a\sqrt3.$,M là trung điểm của cạnh $\infty.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB..,-----HẾT-----

Question

Giải giúp tôi học sinh là $k=0,2$ Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao aurcu uvn +  nh. .........,8 ngày (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?,Câu 2. Cho hình chóp S' ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,~AB=a,~SA=a\sqrt3$ vai,vuông góc với đáy. Số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$ l bằng bao nhiêu độ?,Câu 3. Cho khối chóp có diện tích đáy $S=7$ và chiều $cao~h=6.$ Thể tích khối chóp đã cho bằng,bao nhiêu?,Câu 4. Cho hàm số $y=x^3-2x+1$ có đồ thị $(C)$ Hệ số góc của tiếp tuyến với tại điểm,có hoành độ bằng 1 bằng bao nhiêu?,PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{2x+3}$,Câu 2. Hai xạ thủ bắn vào bia một cách độc lập với nhau, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất,bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac13$ và $\frac15$ Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một xạ thủ,không bắn trúng bia".,Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 $SA\bot(ABC),~SA=a\sqrt3.$,M là trung điểm của cạnh $\infty.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB..,-----HẾT-----

Accepted Answer

Câu 2.
Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

- Vì $SA$ vuông góc với đáy $ABC$, nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, bao gồm cả $AB$ và $AC$.
- Ta hạ đường cao $SH$ từ đỉnh $S$ xuống đáy $ABC$. Do $SA$ vuông góc với $(ABC)$, nên $SH$ cũng vuông góc với $(ABC)$.
- Mặt khác, vì $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, nên $BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và vuông góc với $AB$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ sẽ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$, tức là góc $SCA$.

Ta tính độ dài $AC$:
$$
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
$$

Tiếp theo, ta tính độ dài $SC$:
$$
SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2 + 2a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
$$

Bây giờ, ta tính $\cos(\angle SCA)$:
$$
\cos(\angle SCA) = \frac{AC}{SC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}
$$

Từ đó, ta suy ra góc $\angle SCA$:
$$
\angle SCA = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)
$$

Vậy góc nhị diện $[S,BC,A]$ là:
$$
\boxed{\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)}
$$

Câu 3.
Thể tích của khối chóp được tính theo công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \times S \times h $$

Trong đó:
- $ S $ là diện tích đáy của khối chóp.
- $ h $ là chiều cao của khối chóp.

Áp dụng công thức trên vào bài toán, ta có:
$$ S = 7 $$
$$ h = 6 $$

Thay các giá trị này vào công thức thể tích:
$$ V = \frac{1}{3} \times 7 \times 6 $$

Tính toán tiếp:
$$ V = \frac{1}{3} \times 42 $$
$$ V = 14 $$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là 14 đơn vị thể tích.

Đáp số: 14

Câu 4.
Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 2x + 1$.
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x + 1) = 3x^2 - 2 $$

Bước 2: Thay giá trị hoành độ $x = 1$ vào đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
$$ y'(1) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1 $$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là 1.

Đáp số: 1

Câu 1.
Để tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{2x+3}$, ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số.

Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là:
$$
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$

Trong đó:
- $ u = x^2 + 4x - 1 $
- $ v = 2x + 3 $

Bước 1: Tính đạo hàm của $ u $:
$$
u' = (x^2 + 4x - 1)' = 2x + 4
$$

Bước 2: Tính đạo hàm của $ v $:
$$
v' = (2x + 3)' = 2
$$

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$
y' = \left(\frac{x^2 + 4x - 1}{2x + 3}\right)' = \frac{(2x + 4)(2x + 3) - (x^2 + 4x - 1) \cdot 2}{(2x + 3)^2}
$$

Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số:
$$
(2x + 4)(2x + 3) = 4x^2 + 6x + 8x + 12 = 4x^2 + 14x + 12
$$
$$
(x^2 + 4x - 1) \cdot 2 = 2x^2 + 8x - 2
$$
$$
(2x + 4)(2x + 3) - (x^2 + 4x - 1) \cdot 2 = 4x^2 + 14x + 12 - (2x^2 + 8x - 2) = 4x^2 + 14x + 12 - 2x^2 - 8x + 2 = 2x^2 + 6x + 14
$$

Bước 5: Viết kết quả cuối cùng:
$$
y' = \frac{2x^2 + 6x + 14}{(2x + 3)^2}
$$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x^2 + 4x - 1}{2x + 3} $ là:
$$
y' = \frac{2x^2 + 6x + 14}{(2x + 3)^2}
$$

Câu 2.
Xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia là:
$$ P(\text{cả hai bắn trúng}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $$

Xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia là:
$$ P(\text{ít nhất một xạ thủ không bắn trúng}) = 1 - P(\text{cả hai bắn trúng}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} $$

Đáp số: $\frac{14}{15}$

Câu 3.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 4.
   - SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = $a\sqrt{3}$.
   - M là trung điểm của cạnh BC.

2. Tìm tọa độ các điểm:
   - Chọn hệ tọa độ sao cho A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(2, 2√3, 0), S(0, 0, $a\sqrt{3}$).
   - M là trung điểm của BC, nên M có tọa độ:
     $$
     M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+2\sqrt{3}}{2}, 0\right) = (3, \sqrt{3}, 0)
     $$

3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Vectơ chỉ phương của AM:
     $$
     \overrightarrow{AM} = (3, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (3, \sqrt{3}, 0)
     $$
   - Vectơ chỉ phương của SB:
     $$
     \overrightarrow{SB} = (4, 0, 0) - (0, 0, a\sqrt{3}) = (4, 0, -a\sqrt{3})
     $$

4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và SB:
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa AM và SB là tích vector của $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{SB}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{SB}
     $$
     Ta có:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     3 & \sqrt{3} & 0 \
     4 & 0 & -a\sqrt{3}
     \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(3 \cdot (-a\sqrt{3})) + \mathbf{k}(3 \cdot 0 - 4 \cdot \sqrt{3})
     $$
     $$
     \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-3a) - \mathbf{j}(-3a\sqrt{3}) + \mathbf{k}(-4\sqrt{3})
     $$
     $$
     \overrightarrow{n} = (-3a, 3a\sqrt{3}, -4\sqrt{3})
     $$

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
   - Chọn điểm A trên đường thẳng AM và điểm S trên đường thẳng SB.
   - Vectơ $\overrightarrow{AS}$:
     $$
     \overrightarrow{AS} = (0, 0, a\sqrt{3}) - (0, 0, 0) = (0, 0, a\sqrt{3})
     $$
   - Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng AM và SB:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
     $$
     Ta có:
     $$
     \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n} = (0, 0, a\sqrt{3}) \cdot (-3a, 3a\sqrt{3}, -4\sqrt{3}) = 0 + 0 + a\sqrt{3} \cdot (-4\sqrt{3}) = -12a
     $$
     $$
     |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-3a)^2 + (3a\sqrt{3})^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^2 + 27a^2 + 48} = \sqrt{36a^2 + 48} = \sqrt{36(a^2 + \frac{4}{3})}
     $$
     $$
     |\overrightarrow{n}| = 6\sqrt{a^2 + \frac{4}{3}}
     $$
     $$
     d = \frac{|-12a|}{6\sqrt{a^2 + \frac{4}{3}}} = \frac{12a}{6\sqrt{a^2 + \frac{4}{3}}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2 + \frac{4}{3}}}
     $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB là:
$$
d = \frac{2a}{\sqrt{a^2 + \frac{4}{3}}}
$$