Giải giúp toi Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a~SA\bot(ABC),~SA=a\sqrt3.$,M là trung điểm của cạnh $cạnh~SC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.,-----HẾT-----

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh $a$.
   - $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt{3}$.
   - M là trung điểm của SC.

2. Tìm tọa độ các điểm:
   - Chọn hệ tọa độ sao cho $A = (0, 0, 0)$, $B = (a, 0, 0)$, $C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, $S = (0, 0, a\sqrt{3})$.

3. Tìm tọa độ của M:
   - M là trung điểm của SC, nên tọa độ của M là:
     $$
     M = \left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{a\sqrt{3} + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)
     $$

4. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Vectơ chỉ phương của AM: 
     $$
     \overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)
     $$
   - Vectơ chỉ phương của SB:
     $$
     \overrightarrow{SB} = (a, 0, -a\sqrt{3})
     $$

5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và SB:
   - Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và SB là $\overrightarrow{n} = (x, y, z)$. Ta có:
     $$
     \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \quad \text{và} \quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{SB} = 0
     $$
   - Từ đó ta có hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     \frac{a}{4}x + \frac{a\sqrt{3}}{4}y + \frac{a\sqrt{3}}{2}z = 0 \
     ax - a\sqrt{3}z = 0
     \end{cases}
     $$
   - Giải hệ phương trình này, ta tìm được vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

6. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng:
   - Chọn điểm $P$ trên AM và $Q$ trên SB, ta có:
     $$
     P = A = (0, 0, 0), \quad Q = B = (a, 0, 0)
     $$
   - Vectơ $\overrightarrow{PQ} = (a, 0, 0)$.
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|a \cdot 1 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + 3 + 1}} = \frac{a}{\sqrt{5}}
     $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB là $\frac{a}{\sqrt{5}}$.