hhnhhjjjjjjjjjjjj ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN,Câu 1. Anh Định nhận thiết kế logo hình con mắt cho,một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai,parabol $y=f(x),~y=g(x)$ như hình vẽ. Chi phí sản,,xuất mỗi $cm^2$ trên logo là 1000 đồng. Chi phí sản xuất,mỗi logo là bao nhiêu đồng?,Câu 2. Một chậu cây có chiều cao 30cm và đường,kính miệng chậu là 30cm . Mặt cắt ngang của chậu cây,là một đường parabol (tham khảo hình vẽ),,Tính thể tích của chậu cây đó (đơn vị dm', kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 3. Một bức tường hình chữ nhật ABCO cao 4 m,,dài 8 m. Bạn Bình trang trí bức tường bằng cách vẽ,,đường cong là một hàm số bậc ba,$y=\frac1{35}x(x-2)(x-8)+2$ trong hệ trục tọa độ như hình,bên dưới, mỗi phần sơn một màu, phần phía trên sơn,màu xanh da trời và phần phía dưới sơn màu trắng.,Biết 1 hộp sơn sơn được $4~m^2.$ Bạn Bình phải mua tối,thiếu m hộp sơn màu xanh và n hộp sơn màu trắng để,sơn bức tường. Hãy tính $m-n$,Câu 4. Một bức tường hình chữ nhật ABCD có kích thước,$6(m) imes4(m)$ được bạn An trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị,$f(x)=a^\prime,g(x)=\log_xx$ đối xứng nhau qua đường thẳng d : $y=z$,và chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ bên). Phần $H_3$ được,sơn màu xanh da trời, phần H, được sơn màu vàng, phần $H_2$,được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu,chỉ sơn được $3(m^2)$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu,,xanh da trời là 100.000 đồng/ hộp, hộp sơn vàng là 140.000,,đồng/ hộp, hộp sơn xanh lá cây là 300000 đồồng/hộp. Tính,số tiền bạn Hà mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là,triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Question

hhnhhjjjjjjjjjjjj ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN,Câu 1. Anh Định nhận thiết kế logo hình con mắt cho,một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai,parabol $y=f(x),~y=g(x)$ như hình vẽ. Chi phí sản,

,xuất mỗi $cm^2$ trên logo là 1000 đồng. Chi phí sản xuất,mỗi logo là bao nhiêu đồng?,Câu 2. Một chậu cây có chiều cao 30cm và đường,kính miệng chậu là 30cm . Mặt cắt ngang của chậu cây,là một đường parabol (tham khảo hình vẽ),

,Tính thể tích của chậu cây đó (đơn vị dm', kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 3. Một bức tường hình chữ nhật ABCO cao 4 m,,dài 8 m. Bạn Bình trang trí bức tường bằng cách vẽ,

,đường cong là một hàm số bậc ba,$y=\frac1{35}x(x-2)(x-8)+2$ trong hệ trục tọa độ như hình,bên dưới, mỗi phần sơn một màu, phần phía trên sơn,màu xanh da trời và phần phía dưới sơn màu trắng.,Biết 1 hộp sơn sơn được $4~m^2.$ Bạn Bình phải mua tối,thiếu m hộp sơn màu xanh và n hộp sơn màu trắng để,sơn bức tường. Hãy tính $m-n$,Câu 4. Một bức tường hình chữ nhật ABCD có kích thước,$6(m) imes4(m)$ được bạn An trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị,$f(x)=a^\prime,g(x)=\log_xx$ đối xứng nhau qua đường thẳng d : $y=z$,và chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ bên). Phần $H_3$ được,sơn màu xanh da trời, phần H, được sơn màu vàng, phần $H_2$,được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu,chỉ sơn được $3(m^2)$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu,

,xanh da trời là 100.000 đồng/ hộp, hộp sơn vàng là 140.000,

,đồng/ hộp, hộp sơn xanh lá cây là 300000 đồồng/hộp. Tính,số tiền bạn Hà mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là,triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính chi phí sản xuất mỗi logo, ta cần tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $ y = f(x) $ và $ y = g(x) $. Sau đó, nhân diện tích này với chi phí sản xuất mỗi $ cm^2 $.

Bước 1: Xác định phương trình của hai parabol.
- Parabol $ y = f(x) $ có dạng $ y = -x^2 + 4 $.
- Parabol $ y = g(x) $ có dạng $ y = x^2 - 4 $.

Bước 2: Tìm giao điểm của hai parabol.
Đặt $ f(x) = g(x) $:
$$ -x^2 + 4 = x^2 - 4 $$
$$ 2x^2 = 8 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = \pm 2 $$

Vậy hai giao điểm là $ x = -2 $ và $ x = 2 $.

Bước 3: Tính diện tích giữa hai parabol từ $ x = -2 $ đến $ x = 2 $.
Diện tích $ A $ giữa hai parabol từ $ x = -2 $ đến $ x = 2 $ được tính bằng tích phân:
$$ A = \int_{-2}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx $$
$$ A = \int_{-2}^{2} [(-x^2 + 4) - (x^2 - 4)] \, dx $$
$$ A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4 - x^2 + 4) \, dx $$
$$ A = \int_{-2}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_{-2}^{2} $$
$$ A = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + 8(2) \right) - \left( -\frac{2(-2)^3}{3} + 8(-2) \right) $$
$$ A = \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) - \left( \frac{16}{3} - 16 \right) $$
$$ A = \left( -\frac{16}{3} + \frac{48}{3} \right) - \left( \frac{16}{3} - \frac{48}{3} \right) $$
$$ A = \left( \frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{32}{3} \right) $$
$$ A = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} $$
$$ A = \frac{64}{3} $$

Bước 4: Tính chi phí sản xuất mỗi logo.
Chi phí sản xuất mỗi $ cm^2 $ là 1000 đồng, nên chi phí sản xuất mỗi logo là:
$$ \text{Chi phí} = \frac{64}{3} \times 1000 = \frac{64000}{3} \approx 21333.33 \text{ đồng} $$

Vậy chi phí sản xuất mỗi logo là khoảng 21333.33 đồng.

Câu 2.
Để tính thể tích của chậu cây, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay. Chậu cây có dạng mặt cắt ngang là một đường parabol, do đó ta có thể mô phỏng nó bằng một hàm số parabol.

Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol.
Giả sử đường parabol có đỉnh tại điểm (0, 0) và đi qua điểm (15, -30). Phương trình của đường parabol có dạng:
$$ y = ax^2 $$

Thay tọa độ điểm (15, -30) vào phương trình:
$$ -30 = a(15)^2 $$
$$ -30 = 225a $$
$$ a = -\frac{30}{225} = -\frac{2}{15} $$

Vậy phương trình của đường parabol là:
$$ y = -\frac{2}{15}x^2 $$

Bước 2: Tính thể tích khối tròn xoay.
Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi một đường cong quay quanh trục Oy từ x = -15 đến x = 15 là:
$$ V = \pi \int_{-15}^{15} y^2 \, dx $$

Thay phương trình của đường parabol vào:
$$ V = \pi \int_{-15}^{15} \left(-\frac{2}{15}x^2\right)^2 \, dx $$
$$ V = \pi \int_{-15}^{15} \frac{4}{225}x^4 \, dx $$
$$ V = \frac{4\pi}{225} \int_{-15}^{15} x^4 \, dx $$

Tích phân của $ x^4 $ từ -15 đến 15 là:
$$ \int_{-15}^{15} x^4 \, dx = 2 \int_{0}^{15} x^4 \, dx $$
$$ = 2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^{15} $$
$$ = 2 \left( \frac{15^5}{5} - 0 \right) $$
$$ = 2 \left( \frac{759375}{5} \right) $$
$$ = 2 \times 151875 $$
$$ = 303750 $$

Vậy thể tích là:
$$ V = \frac{4\pi}{225} \times 303750 $$
$$ V = \frac{1215000\pi}{225} $$
$$ V = 5400\pi $$

Chuyển đổi đơn vị từ cm³ sang dm³ (1 dm³ = 1000 cm³):
$$ V = \frac{5400\pi}{1000} $$
$$ V = 5.4\pi $$

Lấy giá trị π ≈ 3.14:
$$ V \approx 5.4 \times 3.14 $$
$$ V \approx 16.956 $$

Làm tròn đến hàng phần chục:
$$ V \approx 17.0 $$

Vậy thể tích của chậu cây là 17.0 dm³.

Câu 3.
Để tính diện tích phần sơn màu xanh da trời và phần sơn màu trắng, ta sẽ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{35}x(x-2)(x-8) + 2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x=8$.

Diện tích toàn bộ hình chữ nhật là:
$$ S_{\text{hình chữ nhật}} = 4 \times 8 = 32 \, \text{m}^2 $$

Diện tích phần sơn màu xanh da trời là:
$$ S_{\text{xanh}} = \int_{0}^{8} \left( \frac{1}{35}x(x-2)(x-8) + 2 \right) \, dx $$

Ta thực hiện phép tích phân:
$$ S_{\text{xanh}} = \int_{0}^{8} \left( \frac{1}{35}x(x-2)(x-8) + 2 \right) \, dx $$
$$ = \int_{0}^{8} \left( \frac{1}{35}(x^3 - 10x^2 + 16x) + 2 \right) \, dx $$
$$ = \int_{0}^{8} \left( \frac{1}{35}x^3 - \frac{10}{35}x^2 + \frac{16}{35}x + 2 \right) \, dx $$
$$ = \int_{0}^{8} \left( \frac{1}{35}x^3 - \frac{2}{7}x^2 + \frac{16}{35}x + 2 \right) \, dx $$

Tính từng phần:
$$ \int_{0}^{8} \frac{1}{35}x^3 \, dx = \frac{1}{35} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^8 = \frac{1}{35} \cdot \frac{8^4}{4} = \frac{1}{35} \cdot \frac{4096}{4} = \frac{1024}{35} $$

$$ \int_{0}^{8} -\frac{2}{7}x^2 \, dx = -\frac{2}{7} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^8 = -\frac{2}{7} \cdot \frac{8^3}{3} = -\frac{2}{7} \cdot \frac{512}{3} = -\frac{1024}{21} $$

$$ \int_{0}^{8} \frac{16}{35}x \, dx = \frac{16}{35} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8 = \frac{16}{35} \cdot \frac{8^2}{2} = \frac{16}{35} \cdot \frac{64}{2} = \frac{512}{35} $$

$$ \int_{0}^{8} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_0^8 = 2 \cdot 8 = 16 $$

Cộng lại:
$$ S_{\text{xanh}} = \frac{1024}{35} - \frac{1024}{21} + \frac{512}{35} + 16 $$

Quy đồng mẫu số:
$$ S_{\text{xanh}} = \frac{1024 \cdot 3}{105} - \frac{1024 \cdot 5}{105} + \frac{512 \cdot 3}{105} + \frac{16 \cdot 105}{105} $$
$$ = \frac{3072 - 5120 + 1536 + 1680}{105} $$
$$ = \frac{1168}{105} \approx 11.12 \, \text{m}^2 $$

Diện tích phần sơn màu trắng:
$$ S_{\text{trắng}} = 32 - S_{\text{xanh}} \approx 32 - 11.12 = 20.88 \, \text{m}^2 $$

Số hộp sơn màu xanh da trời cần mua:
$$ m = \lceil \frac{11.12}{4} \rceil = 3 $$

Số hộp sơn màu trắng cần mua:
$$ n = \lceil \frac{20.88}{4} \rceil = 6 $$

Vậy:
$$ m - n = 3 - 6 = -3 $$

Đáp số: $m - n = -3$

Câu 4.
Để tính số tiền bạn Hà mua sơn để sơn bức tường này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích của bức tường:
   Diện tích của bức tường hình chữ nhật ABCD là:
   $$
   S_{ABCD} = 6 \times 4 = 24 \text{ (m}^2\text{)}
   $$

2. Xác định diện tích của các phần H1, H2, H3:
   - Vì hai đồ thị $ f(x) = a' $ và $ g(x) = \log_x x $ đối xứng qua đường thẳng $ y = z $, nên diện tích của các phần H1, H2, H3 sẽ bằng nhau.
   - Do đó, diện tích của mỗi phần là:
     $$
     S_{H1} = S_{H2} = S_{H3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ (m}^2\text{)}
     $$

3. Tính số hộp sơn cần mua cho mỗi phần:
   - Mỗi hộp sơn chỉ sơn được 3 m² tường.
   - Số hộp sơn cần mua cho mỗi phần là:
     $$
     \text{Số hộp sơn cho } H1 = \left\lceil \frac{8}{3} \right\rceil = 3 \text{ (hộp)}
     $$
     $$
     \text{Số hộp sơn cho } H2 = \left\lceil \frac{8}{3} \right\rceil = 3 \text{ (hộp)}
     $$
     $$
     \text{Số hộp sơn cho } H3 = \left\lceil \frac{8}{3} \right\rceil = 3 \text{ (hộp)}
     $$

4. Tính tổng số tiền mua sơn:
   - Giá của hộp sơn màu xanh da trời là 100.000 đồng/hộp.
   - Giá của hộp sơn màu vàng là 140.000 đồng/hộp.
   - Giá của hộp sơn màu xanh lá cây là 300.000 đồng/hộp.
   - Tổng số tiền mua sơn là:
     $$
     \text{Tổng số tiền} = (3 \times 100.000) + (3 \times 140.000) + (3 \times 300.000)
     $$
     $$
     = 300.000 + 420.000 + 900.000
     $$
     $$
     = 1.620.000 \text{ (đồng)}
     $$
     $$
     = 1.62 \text{ (triệu đồng)}
     $$

Vậy số tiền bạn Hà mua sơn để sơn bức tường này là 1.62 triệu đồng.