Gvbtdvhtvjtxg Câu 5: Trong một trung tâm logistics, người ta cần thiết kế một thùng,hàng hình hộp chữ nhật để đóng gói và vận chuyển thiết bị điện tử. Tổng,,diện tích các mặt ngoài của thùng bằng $36~m^2$ (bao gồm cả mặt đáy, mặt,nắp và 4 mặt bên). Để đảm bảo khả năng đóng gói vừa vặn thiết bị, đường,chéo không gian của thùng phải dài 6 mét. Thể tích lớn nhất có thể của,thùng hàng này là bao nhiêu (tính theo đơn vị mét khối, làm tròn đến hàng,phần chục)?,Câu 6: Một công ty xây dựng một hệ thống Giám sát môi trường tại,khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí,A,B trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để,,đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế,một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai,cảm biến A và B. Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo,tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ,các điểm là $A(3;5;-2),~B(-1;3;2)$ và mặt đất được mô tả bằng mặt,phẳng: $(P):~2x+y-2z+9=0.$ Trong quá trình mô phỏng, điểm,tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là C ) thay đổi. Kỹ sư cần,xác định khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0,0) đến điểm tiếp xúc C,để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi $m_1$ là giá trị,lớn nhất, và $m_2$ là giá trị nhỏ nhất của độ dài OC. Tính giá trị,$m,^2+m,^2.$

Question

Gvbtdvhtvjtxg Câu 5: Trong một trung tâm logistics, người ta cần thiết kế một thùng,hàng hình hộp chữ nhật để đóng gói và vận chuyển thiết bị điện tử. Tổng,

,diện tích các mặt ngoài của thùng bằng $36~m^2$ (bao gồm cả mặt đáy, mặt,nắp và 4 mặt bên). Để đảm bảo khả năng đóng gói vừa vặn thiết bị, đường,chéo không gian của thùng phải dài 6 mét. Thể tích lớn nhất có thể của,thùng hàng này là bao nhiêu (tính theo đơn vị mét khối, làm tròn đến hàng,phần chục)?,Câu 6: Một công ty xây dựng một hệ thống Giám sát môi trường tại,khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí,A,B trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để,

,đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế,một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai,cảm biến A và B. Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo,tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ,các điểm là $A(3;5;-2),~B(-1;3;2)$ và mặt đất được mô tả bằng mặt,phẳng: $(P):~2x+y-2z+9=0.$ Trong quá trình mô phỏng, điểm,tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là C ) thay đổi. Kỹ sư cần,xác định khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0,0) đến điểm tiếp xúc C,để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi $m_1$ là giá trị,lớn nhất, và $m_2$ là giá trị nhỏ nhất của độ dài OC. Tính giá trị,$m,^2+m,^2.$

Accepted Answer

Câu 5:
Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng hàng là $a$, $b$, $c$. Ta có:
- Tổng diện tích các mặt ngoài của thùng hàng: $2(ab + bc + ca) = 36$
- Đường chéo không gian của thùng hàng: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 6$

Từ đó suy ra:
$$ a^2 + b^2 + c^2 = 36 $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (ab + bc + ca)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) $$
$$ (ab + bc + ca)^2 \leq 36 \times 36 $$
$$ ab + bc + ca \leq 36 $$

Do đó:
$$ 2(ab + bc + ca) = 36 \Rightarrow ab + bc + ca = 18 $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ a^2 + b^2 + c^2 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} $$
$$ 36 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} $$
$$ 12 \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2} $$
$$ 12^3 \geq a^2b^2c^2 $$
$$ 1728 \geq a^2b^2c^2 $$
$$ \sqrt{1728} \geq abc $$
$$ 12\sqrt{12} \geq abc $$
$$ 42.426 \geq abc $$

Thể tích lớn nhất của thùng hàng là:
$$ V_{max} = abc = 12\sqrt{12} \approx 42.4 $$

Đáp số: 42.4 m³

Câu 6:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2. Xác định phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Tìm giao điểm C của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
4. Tính khoảng cách OC và xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của OC.
5. Tính giá trị của $ m_1^2 + m_2^2 $.

Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
$$ I = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{-2 + 2}{2} \right) = (1, 4, 0) $$

Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp vuông góc với mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (2, 1, -2)$. Đường thẳng d đi qua I và có vectơ chỉ phương là $\vec{n}$ có phương trình tham số:
$$ \begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 4 + t \
z = -2t
\end{cases} $$

Bước 3: Tìm giao điểm C của đường thẳng d với mặt phẳng (P).

Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P):
$$ 2(1 + 2t) + (4 + t) - 2(-2t) + 9 = 0 $$
$$ 2 + 4t + 4 + t + 4t + 9 = 0 $$
$$ 9t + 15 = 0 $$
$$ t = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3} $$

Thay $ t = -\frac{5}{3} $ vào phương trình tham số của d:
$$ x = 1 + 2 \left( -\frac{5}{3} \right) = 1 - \frac{10}{3} = -\frac{7}{3} $$
$$ y = 4 + \left( -\frac{5}{3} \right) = 4 - \frac{5}{3} = \frac{7}{3} $$
$$ z = -2 \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{10}{3} $$

Vậy tọa độ của điểm C là $ C \left( -\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{10}{3} \right) $.

Bước 4: Tính khoảng cách OC và xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của OC.

Khoảng cách OC:
$$ OC = \sqrt{\left( -\frac{7}{3} \right)^2 + \left( \frac{7}{3} \right)^2 + \left( \frac{10}{3} \right)^2} $$
$$ OC = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{49}{9} + \frac{100}{9}} $$
$$ OC = \sqrt{\frac{198}{9}} $$
$$ OC = \sqrt{22} $$

Vì C luôn nằm trên mặt phẳng (P) và luôn thay đổi vị trí, nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của OC đều là $\sqrt{22}$.

Bước 5: Tính giá trị của $ m_1^2 + m_2^2 $.

$$ m_1 = \sqrt{22} $$
$$ m_2 = \sqrt{22} $$

$$ m_1^2 + m_2^2 = 22 + 22 = 44 $$

Vậy giá trị của $ m_1^2 + m_2^2 $ là 44.