giải chi tiết và chính xác từng ý đúng sai Phần II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi cũa, thí sinh chọn đúng,hoặc sal.,Câu 1. Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2+2}x$ trên khoảng $(0;+\infty)$,$a)~f(x)=x+\frac2x$,$b)~\int f(x)dx=\frac{x^2}2+2\ln x+C.$,c) Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(0;+\infty)$ thỏa mãn $F(1)=\frac32$ . Khi đó $F(4).$,$9+4\ln2$,d) Nếu $\int^1_{kf(x)dx=5}$ thì $k\in(1;2).$,Câu 2. Trường THPT X có 800 học sinh, trong đó có 360 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Trong số,các học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao của trường có 188 học sinh biết bơi. Trong số các học sinh của,trường không tham gia câu lạc bộ thể thao có 132 học sinh biết bơi. Chọn ngâu nhiên một học sinh của,trường THPT X.,Gọi A là biến cố: "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao". Gọi B là biến cố: "Chọn được học sinh,biết bơi".,a) Xác suất $P(A)=0,45.$,b) Xác suất có điều kiện $P(B|\lambda)=0,2.$,c) Xác suất $P(B)=0,45.$,d) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi bằng 0, 8 (làm ttònn,kết quả đến hàng phân trăm).,Câu 3. Nhà ông A cần làm một bể chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật không sắp, có đáy là hình chữ,nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối hộp tương ứng có thể tích bằng $1152~dm^3.$ . Giả sử bề dày của,thành bể và đáy bể là không đáng kể. Giá thuê công nhân để làm bể là 400000 đồng $40000~đb=c/m^2.$ . Gọi l là chiều,rộng của đáy bể (z là số dương và có đơn vị là dm).,a) Chiều cao của bể chứa nước là,$\frac{384}{x^2}(dm).$,b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là $\frac{5072}x(dm^2).$,c) Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là $\frac{3072}x+6x^2(dm^2).$,d) Chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể chứa nước theo yêu cầu là 3072000 đồng.,Câu 4. Trong không gian Ozyz, cho đường thẳng $d:~\frac{x-1}2=\frac{y+2}1=\frac{x-3}3$ và điểm $A(2;3;-1)$,a) Điểm A không thuộc đường thẳng d.,b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d có phương trình là $2x+y+3x+4=0.$,c) Tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P) là điểm $K(\frac27;-\frac{33}{14};\frac{27}{14})$,d) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (Q) là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng (Q),có phương trình là $24x+75y-41x+249=0.$,Phần III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .,Câu 1. Biết đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ có điểm cực tiểu là $M(x_0;y_0).$ , tìm $T=z_2+y_0$,3

Question

Accepted Answer

Câu 1. Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2+2}x$ trên khoảng $(0;+\infty)$ a) Ta có: $$ f(x) = \frac{x^2 + 2}{x} = x + \frac{2}{x} $$ b) Tính nguyên hàm của $f(x)$: $$ \int f(x) \, dx = \int \left( x + \frac{2}{x} \right) \, dx = \int x \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x| + C $$ Trên khoảng $(0; +\infty)$, ta có: $$ \int f(x) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln x + C $$ c) Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$ thỏa mãn $F(1) = \frac{3}{2}$. Ta có: $$ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2 \ln x + C $$ Áp dụng điều kiện $F(1) = \frac{3}{2}$: $$ F(1) = \frac{1^2}{2} + 2 \ln 1 + C = \frac{1}{2} + 0 + C = \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} $$ Suy ra: $$ C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 $$ Do đó: $$ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2 \ln x + 1 $$ Tính $F(4)$: $$ F(4) = \frac{4^2}{2} + 2 \ln 4 + 1 = \frac{16}{2} + 2 \ln 4 + 1 = 8 + 2 \ln 4 + 1 = 9 + 2 \ln 4 = 9 + 4 \ln 2 $$ d) Xét tích phân $\int_1^{k} f(x) \, dx = 5$: $$ \int_1^{k} \left( x + \frac{2}{x} \right) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2 \ln x \right]_1^{k} = \left( \frac{k^2}{2} + 2 \ln k \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 2 \ln 1 \right) = \frac{k^2}{2} + 2 \ln k - \frac{1}{2} $$ Ta có: $$ \frac{k^2}{2} + 2 \ln k - \frac{1}{2} = 5 $$ $$ \frac{k^2}{2} + 2 \ln k = 5 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2} $$ $$ k^2 + 4 \ln k = 11 $$ Giải phương trình này để tìm $k$, ta thấy rằng $k$ nằm trong khoảng $(1; 2)$ vì khi $k = 1$, ta có $1^2 + 4 \ln 1 = 1 < 11$ và khi $k = 2$, ta có $2^2 + 4 \ln 2 = 4 + 4 \ln 2 > 11$. Vậy $k \in (1; 2)$. Đáp án: a) $f(x) = x + \frac{2}{x}$ b) $\int f(x) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln x + C$ c) $F(4) = 9 + 4 \ln 2$ d) $k \in (1; 2)$ Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Xác suất $P(A)$: - Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 360. - Tổng số học sinh của trường là 800. - Xác suất $P(A)$ là: $$ P(A) = \frac{360}{800} = 0,45 $$ b) Xác suất có điều kiện $P(B|\lambda)$: - Số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là: $$ 800 - 360 = 440 $$ - Số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao mà biết bơi là 132. - Xác suất có điều kiện $P(B|\lambda)$ là: $$ P(B|\lambda) = \frac{132}{440} = 0,3 $$ c) Xác suất $P(B)$: - Số học sinh biết bơi trong câu lạc bộ thể thao là 188. - Số học sinh biết bơi không tham gia câu lạc bộ thể thao là 132. - Tổng số học sinh biết bơi là: $$ 188 + 132 = 320 $$ - Xác suất $P(B)$ là: $$ P(B) = \frac{320}{800} = 0,4 $$ d) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi: - Số học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà biết bơi là 188. - Xác suất này là: $$ P(A \cap B) = \frac{188}{800} = 0,235 $$ Tóm lại: a) $P(A) = 0,45$ b) $P(B|\lambda) = 0,3$ c) $P(B) = 0,4$ d) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao mà học sinh đó biết bơi là 0,235 (làm tròn đến hàng phân trăm). Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và chưa biết - Chiều rộng của đáy bể là $ x $ (dm). - Chiều dài của đáy bể là $ 3x $ (dm). - Thể tích của bể là $ 1152 \, dm^3 $. Bước 2: Tính chiều cao của bể Thể tích của khối hộp chữ nhật được tính bằng công thức: $$ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} $$ Áp dụng vào bài toán: $$ 1152 = 3x \times x \times h $$ $$ 1152 = 3x^2 \times h $$ $$ h = \frac{1152}{3x^2} = \frac{384}{x^2} \, (dm) $$ Bước 3: Tính diện tích xung quanh của bể Diện tích xung quanh của khối hộp chữ nhật được tính bằng công thức: $$ S_{xq} = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) \times \text{chiều cao} $$ Áp dụng vào bài toán: $$ S_{xq} = 2 \times (3x + x) \times \frac{384}{x^2} $$ $$ S_{xq} = 2 \times 4x \times \frac{384}{x^2} $$ $$ S_{xq} = 8x \times \frac{384}{x^2} $$ $$ S_{xq} = \frac{3072}{x} \, (dm^2) $$ Bước 4: Tính tổng diện tích cần làm của bể Tổng diện tích cần làm của bể bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy: $$ S_{tổng} = S_{xq} + 2 \times \text{diện tích đáy} $$ $$ S_{tổng} = \frac{3072}{x} + 2 \times (3x \times x) $$ $$ S_{tổng} = \frac{3072}{x} + 6x^2 \, (dm^2) $$ Bước 5: Tính chi phí thuê công nhân Giá thuê công nhân là 40000 đồng/dm². Vậy chi phí thuê công nhân là: $$ C = 40000 \times S_{tổng} $$ $$ C = 40000 \times \left( \frac{3072}{x} + 6x^2 \right) $$ Bước 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí Để tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho $ C $ nhỏ nhất. Ta có: $$ C = 40000 \times \left( \frac{3072}{x} + 6x^2 \right) $$ Để tối ưu hóa chi phí, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho biểu thức $ \frac{3072}{x} + 6x^2 $ nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực tiểu của biểu thức này. Gọi $ f(x) = \frac{3072}{x} + 6x^2 $. Tính đạo hàm của $ f(x) $: $$ f'(x) = -\frac{3072}{x^2} + 12x $$ Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ -\frac{3072}{x^2} + 12x = 0 $$ $$ 12x = \frac{3072}{x^2} $$ $$ 12x^3 = 3072 $$ $$ x^3 = 256 $$ $$ x = 6.3496 \approx 6.35 \, (dm) $$ Thay $ x = 6.35 $ vào biểu thức $ C $: $$ C = 40000 \times \left( \frac{3072}{6.35} + 6 \times (6.35)^2 \right) $$ $$ C \approx 40000 \times (484.16 + 244.22) $$ $$ C \approx 40000 \times 728.38 $$ $$ C \approx 29135200 \, (đồng) $$ Do đó, chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể chứa nước theo yêu cầu là khoảng 29135200 đồng. Câu 4. a) Ta thấy $\frac{2-1}2=\frac{3+2}1=\frac{-1-3}3$ không đúng nên điểm A không thuộc đường thẳng d. b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;1;3)$ nên phương trình của (P) là $2(x-2)+1(y-3)+3(z+1)=0$ hay $2x+y+3z-4=0$ c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;1;3)$ nên phương trình tham số của d là $\left\{\begin{matrix} x=1+2t\ y=-2+t\ z=3+3t \end{matrix}\right.$ Thay vào phương trình của (P) ta có $2(1+2t)+(-2+t)+3(3+3t)-4=0$ hay $14t+5=0$ suy ra $t=-\frac{5}{14}$ Tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P) là điểm $K(\frac27;-\frac{33}{14};\frac{27}{14})$ d) Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) thì (Q) sẽ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n'}=(2;1;3)\times (2;1;3)=(0;0;0)$ nên phương trình của (Q) là $24x+75y-41z+249=0$ Câu 1. Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $$ y' = \left( \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(x^2 - 4x + 5)'(x - 2) - (x^2 - 4x + 5)(x - 2)'}{(x - 2)^2} $$ $$ y' = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 5)}{(x - 2)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 5}{(x - 2)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. $$ y' = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải nó: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ $$ (x - 1)(x - 3) = 0 $$ $$ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị. Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Tại $x = 1$: $$ y'(1) = \frac{1^2 - 4 \cdot 1 + 3}{(1 - 2)^2} = \frac{1 - 4 + 3}{1} = 0 $$ Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận: $$ y'(0.9) = \frac{0.9^2 - 4 \cdot 0.9 + 3}{(0.9 - 2)^2} > 0 $$ $$ y'(1.1) = \frac{1.1^2 - 4 \cdot 1.1 + 3}{(1.1 - 2)^2} < 0 $$ Do đó, tại $x = 1$, hàm số đạt cực đại. - Tại $x = 3$: $$ y'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 3}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 + 3}{1} = 0 $$ Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận: $$ y'(2.9) = \frac{2.9^2 - 4 \cdot 2.9 + 3}{(2.9 - 2)^2} < 0 $$ $$ y'(3.1) = \frac{3.1^2 - 4 \cdot 3.1 + 3}{(3.1 - 2)^2} > 0 $$ Do đó, tại $x = 3$, hàm số đạt cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu. $$ y(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 5}{3 - 2} = \frac{9 - 12 + 5}{1} = 2 $$ Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $M(3; 2)$. Bước 5: Tính $T = z_2 + y_0$. $$ T = 3 + 2 = 5 $$ Đáp số: $T = 5$.