giải chi tiết cho mình Câu 21: Phương trình chuyển động của một vật là $s(t)=t^2+2t,$ (t tính bằng giây, s tính bằng mét).,a) Tại thời điểm $t=3$ giây, vật đã di chuyển được quãng đường dài 15 mét.,b) Tại thời điểm $t=3$ giây, vận tốc tức thời của vật là 6 m/s.,c) Vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm $t=5$ giây.,d) Khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s thì vật đã di chuyển được 24 mét.,Câu 22: Cho hàm số $f(x)=x^2-2x$ có đồ thị (C).,a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện,tích bằng $\frac{81}4.$,b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng -1 song song với trục Ox.,c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0 là $y=-2x.$,d) Gọi $d$ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 2. Điểm $A(3;-4)$ thuộc đường thẳng d.,Câu 23: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{2x+1}.$ Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~y^\prime0~\forall x\in\mathbb{R}$,b) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;3).$,$c)~y^\prime(1)

Question

giải chi tiết cho mình Câu 21: Phương trình chuyển động của một vật là $s(t)=t^2+2t,$ (t tính bằng giây, s tính bằng mét).,a) Tại thời điểm $t=3$ giây, vật đã di chuyển được quãng đường dài 15 mét.,b) Tại thời điểm $t=3$ giây, vận tốc tức thời của vật là 6 m/s.,c) Vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm $t=5$ giây.,d) Khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s thì vật đã di chuyển được 24 mét.,Câu 22: Cho hàm số $f(x)=x^2-2x$ có đồ thị (C).,a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện,tích bằng $\frac{81}4.$,b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng -1 song song với trục Ox.,c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0 là $y=-2x.$,d) Gọi $d$ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 2. Điểm $A(3;-4)$ thuộc đường thẳng d.,Câu 23: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{2x+1}.$ Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~y^\prime>0~\forall x\in\mathbb{R}$,b) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;3).$,$c)~y^\prime(1)<y^\prime(2)$,d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x-3}{2x+1}$ có hoành độ $x_0=0.$ Khi đó, phương trình tiếp,tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng $x+7y+1=0.$

Accepted Answer

Câu 21:
Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Tại thời điểm $t=3$ giây, vật đã di chuyển được quãng đường dài 15 mét.

Phương trình chuyển động của vật là:
$$ s(t) = t^2 + 2t $$

Tại thời điểm $t = 3$ giây, ta thay $t = 3$ vào phương trình:
$$ s(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 \text{ mét} $$

Vậy, tại thời điểm $t = 3$ giây, vật đã di chuyển được quãng đường dài 15 mét.

b) Tại thời điểm $t=3$ giây, vận tốc tức thời của vật là 6 m/s.

Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của phương trình chuyển động $s(t)$ theo thời gian $t$. Ta có:
$$ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + 2t) = 2t + 2 $$

Tại thời điểm $t = 3$ giây, ta thay $t = 3$ vào phương trình vận tốc:
$$ v(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ m/s} $$

Vậy, tại thời điểm $t = 3$ giây, vận tốc tức thời của vật là 8 m/s, không phải 6 m/s.

c) Vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm $t=5$ giây.

Ta đã biết vận tốc tức thời của vật là:
$$ v(t) = 2t + 2 $$

Để tìm thời điểm $t$ khi vận tốc tức thời là 10 m/s, ta giải phương trình:
$$ 2t + 2 = 10 $$
$$ 2t = 10 - 2 $$
$$ 2t = 8 $$
$$ t = 4 \text{ giây} $$

Vậy, vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm $t = 4$ giây, không phải $t = 5$ giây.

d) Khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s thì vật đã di chuyển được 24 mét.

Khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s, ta đã tìm được thời điểm $t = 4$ giây. Bây giờ, ta thay $t = 4$ vào phương trình chuyển động để tìm quãng đường đã di chuyển:
$$ s(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 = 16 + 8 = 24 \text{ mét} $$

Vậy, khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s thì vật đã di chuyển được 24 mét.

Kết luận:
- a) Đúng.
- b) Sai, vận tốc tức thời tại $t = 3$ giây là 8 m/s.
- c) Sai, vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm $t = 4$ giây.
- d) Đúng.

Câu 22:
a) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x) = 2x - 2$. 
Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là $f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$. 
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(3, f(3))$ là $y = 4(x - 3) + f(3) = 4(x - 3) + 3^2 - 2 \cdot 3 = 4x - 9$. 
Tiếp tuyến cắt trục Oy tại điểm $(0, -9)$ và cắt trục Ox tại điểm $(\frac{9}{4}, 0)$. 
Diện tích tam giác là $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{9}{4} = \frac{81}{8}$. 
Vậy khẳng định a sai.

b) Tung độ bằng -1 thì $x^2 - 2x = -1$, tức là $x^2 - 2x + 1 = 0$, hay $(x - 1)^2 = 0$. 
Vậy $x = 1$. 
Đạo hàm tại điểm này là $f'(1) = 2 \cdot 1 - 2 = 0$. 
Vậy tiếp tuyến song song với trục Ox. 
Khẳng định b đúng.

c) Tại điểm có hoành độ bằng 0, đạo hàm là $f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2$. 
Phương trình tiếp tuyến là $y = -2x + f(0) = -2x$. 
Khẳng định c đúng.

d) Hệ số góc của tiếp tuyến là 2, tức là $f'(x) = 2x - 2 = 2$. 
Giải phương trình $2x - 2 = 2$, ta có $x = 2$. 
Tại điểm $(2, f(2))$, phương trình tiếp tuyến là $y = 2(x - 2) + f(2) = 2(x - 2) + 2^2 - 2 \cdot 2 = 2x - 4$. 
Thay $x = 3$ vào phương trình tiếp tuyến, ta có $y = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. 
Vậy điểm $A(3, -4)$ không thuộc đường thẳng d. 
Khẳng định d sai.

Đáp án: b, c.

Câu 23:
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11.

a) $ y' > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $

Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{x-3}{2x+1} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Trong đó, $ u = x - 3 $ và $ v = 2x + 1 $.

Tính đạo hàm của $ u $ và $ v $:
$$ u' = 1 $$
$$ v' = 2 $$

Thay vào công thức đạo hàm của thương:
$$ y' = \frac{(1)(2x+1) - (x-3)(2)}{(2x+1)^2} $$
$$ y' = \frac{2x + 1 - 2x + 6}{(2x+1)^2} $$
$$ y' = \frac{7}{(2x+1)^2} $$

Vì $ (2x+1)^2 > 0 \quad \forall x \neq -\frac{1}{2} $, nên $ y' = \frac{7}{(2x+1)^2} > 0 \quad \forall x \neq -\frac{1}{2} $.

Do đó, mệnh đề a) là sai vì $ y' > 0 $ không đúng với mọi $ x \in \mathbb{R} $ mà chỉ đúng với mọi $ x \neq -\frac{1}{2} $.

b) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $ (0;3) $

Để tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, ta thay $ x = 0 $ vào hàm số:
$$ y = \frac{0 - 3}{2(0) + 1} = \frac{-3}{1} = -3 $$

Vậy điểm giao với trục tung là $ (0; -3) $, không phải $ (0; 3) $.

Do đó, mệnh đề b) là sai.

c) $ y'(1) < y'(2) $

Ta đã tìm được đạo hàm của hàm số là:
$$ y' = \frac{7}{(2x+1)^2} $$

Bây giờ, ta tính $ y'(1) $ và $ y'(2) $:
$$ y'(1) = \frac{7}{(2(1)+1)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9} $$
$$ y'(2) = \frac{7}{(2(2)+1)^2} = \frac{7}{5^2} = \frac{7}{25} $$

So sánh hai giá trị này:
$$ \frac{7}{9} > \frac{7}{25} $$

Do đó, $ y'(1) > y'(2) $, vậy mệnh đề c) là sai.

d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số $ y = \frac{x-3}{2x+1} $ có hoành độ $ x_0 = 0 $. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng $ x + 7y + 1 = 0 $.

Điểm M có hoành độ $ x_0 = 0 $, thay vào hàm số để tìm tung độ:
$$ y = \frac{0 - 3}{2(0) + 1} = -3 $$

Vậy điểm M là $ (0; -3) $.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $ (x_0, y_0) $ là:
$$ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) $$

Tại điểm $ (0, -3) $, đạo hàm $ y'(0) = \frac{7}{(2(0) + 1)^2} = 7 $.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ (0, -3) $ là:
$$ y + 3 = 7(x - 0) $$
$$ y = 7x - 3 $$

Đường thẳng $ x + 7y + 1 = 0 $ có dạng $ y = -\frac{1}{7}x - \frac{1}{7} $.

Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc bằng -1:
$$ 7 \times \left(-\frac{1}{7}\right) = -1 $$

Do đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng $ x + 7y + 1 = 0 $.

Vậy mệnh đề d) là đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề a) là sai.
- Mệnh đề b) là sai.
- Mệnh đề c) là sai.
- Mệnh đề d) là đúng.