giải chi tiết và chính xác Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho $\Delta ABC.$ biết $A(-1;0;3),~B(4;2;0),~C(3;1;-3).$,$a)~M(a;b;c)$ thoả mãn $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{CB}.$ Khi đó $a+b+c=-13$,$b)~N(a;b;c)\in Ox$ sao cho BN vuông góc với đường thẳng AC . Khi đó $4a^2+b^2+c^2=162$,$c)~D(-2;-1;0)$ là một đỉnh của hình bình hành ABCD,$d)~G(2;1;0)$ là trọng tâm tam giác ABC,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^\prime(x)=8x^3+\sin x,\forall x\in\mathbb{R}.$ Biết $f(0)=3.$,a) Hàm số $y=f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f^\prime(x).$,b) Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=2.$ Khi đó, $F(1)=\frac{32}5-\sin1.$,$c)~f(x)=2x^4-\cos x+3.$,$d)~\int f(x)=\frac25x^3-\sin x+3x+C,$ với C là hằng số.,Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là (C).,a) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy .,b) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là $y=-x-6.$,c) Đồ thị (C) nhận giao điểm $I(3;-9)$ làm tâm đối xứng.,d) Đồ thị không cắt trục Ox .,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Biết đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x-1$ có hai cực trị A và B . Phương trình đường thẳng AB là,$y=ax+b,(a,b\in\mathbb{R}).$ Tính tổng $a+b.$,Câu 2. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$,$(f(t)$ :) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem,$y=f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $[0;+\infty).$ Đồ thị hàm số $y=f(t)$ có đường tiệm cận,ngang là $y=a.$ Giá trị của a là bao nhiêu?,Câu 3. Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng,đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục,,tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$,Đơn vị trên hệ trục là 100m Vị trí điểm cực đại là $(2;5).$,vị trí điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt đường chạy trên một,đường thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn,làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo,ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu,mét? (làm tròn đến hàng phần trục),Câu 4. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một,chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;9)$,trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp,theo là $C(x;y;z).$ Tính $x+y+z.$,Mã đề 101- Trang 3/4

Question

giải chi tiết và chính xác Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho $\Delta ABC.$ biết $A(-1;0;3),~B(4;2;0),~C(3;1;-3).$,$a)~M(a;b;c)$ thoả mãn $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{CB}.$ Khi đó $a+b+c=-13$,$b)~N(a;b;c)\in Ox$ sao cho BN vuông góc với đường thẳng AC . Khi đó $4a^2+b^2+c^2=162$,$c)~D(-2;-1;0)$ là một đỉnh của hình bình hành ABCD,$d)~G(2;1;0)$ là trọng tâm tam giác ABC,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^\prime(x)=8x^3+\sin x,\forall x\in\mathbb{R}.$ Biết $f(0)=3.$,a) Hàm số $y=f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f^\prime(x).$,b) Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=2.$ Khi đó, $F(1)=\frac{32}5-\sin1.$,$c)~f(x)=2x^4-\cos x+3.$,$d)~\int f(x)=\frac25x^3-\sin x+3x+C,$ với C là hằng số.,Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là (C).,a) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy .,b) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là $y=-x-6.$,c) Đồ thị (C) nhận giao điểm $I(3;-9)$ làm tâm đối xứng.,d) Đồ thị không cắt trục Ox .,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Biết đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x-1$ có hai cực trị A và B . Phương trình đường thẳng AB là,$y=ax+b,(a,b\in\mathbb{R}).$ Tính tổng $a+b.$,Câu 2. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$,$(f(t)$ :) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem,$y=f(t)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $[0;+\infty).$ Đồ thị hàm số $y=f(t)$ có đường tiệm cận,ngang là $y=a.$ Giá trị của a là bao nhiêu?,Câu 3. Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng,đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/aa101a5480b84ff88cba1a4ad6ee20d4.jpg />,tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$,Đơn vị trên hệ trục là 100m Vị trí điểm cực đại là $(2;5).$,vị trí điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt đường chạy trên một,đường thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn,làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo,ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu,mét? (làm tròn đến hàng phần trục),Câu 4. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một,chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;9)$,trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp,theo là $C(x;y;z).$ Tính $x+y+z.$,Mã đề 101- Trang 3/4

Accepted Answer

Câu 2.
a) Ta có $\overrightarrow{AM}=(a+1,b,c-3)$ và $\overrightarrow{CB}=(1,1,3).$
Để $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{CB},$ ta cần:
$$ 
\begin{cases}
a + 1 = 3 \
b = 3 \
c - 3 = 9
\end{cases}
$$
Giải hệ phương trình này, ta được:
$$ 
\begin{cases}
a = 2 \
b = 3 \
c = 12
\end{cases}
$$
Do đó, $a + b + c = 2 + 3 + 12 = 17.$

b) Vì $N \in Ox,$ nên tọa độ của $N$ có dạng $(a, 0, 0).$
Ta có $\overrightarrow{BN} = (a - 4, -2, 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (4, 1, -6).$
Để $BN$ vuông góc với $AC,$ ta cần:
$$ 
\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AC} = 0
$$
Tính tích vô hướng:
$$ 
(a - 4) \cdot 4 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot (-6) = 0
$$
$$ 
4a - 16 - 2 = 0
$$
$$ 
4a - 18 = 0
$$
$$ 
4a = 18
$$
$$ 
a = \frac{9}{2}
$$
Do đó, $N \left(\frac{9}{2}, 0, 0\right).$
Kiểm tra điều kiện $4a^2 + b^2 + c^2:$
$$ 
4 \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 0^2 + 0^2 = 4 \cdot \frac{81}{4} = 81
$$

c) Ta có $\overrightarrow{AB} = (5, 2, -3)$ và $\overrightarrow{AD} = (-1, -1, -3).$
Để $ABCD$ là hình bình hành, ta cần:
$$ 
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
$$
Tọa độ của $D$ là $(-2, -1, 0),$ do đó:
$$ 
\overrightarrow{DC} = (3 - (-2), 1 - (-1), -3 - 0) = (5, 2, -3)
$$
Như vậy, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC},$ suy ra $ABCD$ là hình bình hành.

d) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ:
$$ 
G \left(\frac{-1 + 4 + 3}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3}, \frac{3 + 0 - 3}{3}\right) = G \left(2, 1, 0\right)
$$
Như vậy, $G(2, 1, 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Kết luận:
a) $a + b + c = 17.$
b) $4a^2 + b^2 + c^2 = 81.$
c) $D(-2, -1, 0)$ là một đỉnh của hình bình hành $ABCD.$
d) $G(2, 1, 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Câu 3.
a) Đúng vì theo định nghĩa, nếu $f'(x)$ là đạo hàm của $f(x)$ thì $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$.

b) Ta có:
$$ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (2x^4 - \cos x + 3) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 3x + C $$

Biết rằng $F(0) = 2$, ta thay vào để tìm $C$:
$$ F(0) = \frac{2}{5}(0)^5 - \sin(0) + 3(0) + C = 2 $$
$$ C = 2 $$

Do đó:
$$ F(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 3x + 2 $$

Tính $F(1)$:
$$ F(1) = \frac{2}{5}(1)^5 - \sin(1) + 3(1) + 2 = \frac{2}{5} - \sin(1) + 3 + 2 = \frac{2}{5} - \sin(1) + 5 = \frac{27}{5} - \sin(1) $$

Như vậy, $F(1) = \frac{27}{5} - \sin(1)$, nên câu b sai.

c) Ta biết rằng:
$$ f'(x) = 8x^3 + \sin x $$

Tích phân hai vế:
$$ f(x) = \int (8x^3 + \sin x) \, dx = 2x^4 - \cos x + C $$

Biết rằng $f(0) = 3$, ta thay vào để tìm $C$:
$$ f(0) = 2(0)^4 - \cos(0) + C = 3 $$
$$ -1 + C = 3 $$
$$ C = 4 $$

Do đó:
$$ f(x) = 2x^4 - \cos x + 4 $$

Như vậy, câu c sai.

d) Ta có:
$$ \int f(x) \, dx = \int (2x^4 - \cos x + 4) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 4x + C $$

Như vậy, câu d sai.

Kết luận:
- Đáp án đúng là: a) Đúng.

Câu 4.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự.

a) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy.

Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số:
$$ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
$$ y' = \frac{(-2x - 3)(x - 3) - (-x^2 - 3x + 4)}{(x - 3)^2} $$
$$ y' = \frac{-2x^2 + 6x - 3x + 9 + x^2 + 3x - 4}{(x - 3)^2} $$
$$ y' = \frac{-x^2 + 6x + 5}{(x - 3)^2} $$

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình:
$$ y' = 0 $$
$$ -x^2 + 6x + 5 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 - 6x - 5 = 0 $$
$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} $$
$$ x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} $$
$$ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} $$
$$ x = 3 \pm \sqrt{14} $$

Vậy hai điểm cực trị có hoành độ là $ x_1 = 3 + \sqrt{14} $ và $ x_2 = 3 - \sqrt{14} $.

Ta thấy rằng $ 3 + \sqrt{14} > 0 $ và $ 3 - \sqrt{14} < 0 $, do đó hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với trục Oy. Vậy phần a đúng.

b) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là $ y = -x - 6 $.

Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên:
$$ \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = -x - 6 + \frac{22}{x - 3} $$

Khi $ x \to \infty $ hoặc $ x \to -\infty $, phần $ \frac{22}{x - 3} $ sẽ tiến đến 0, vậy tiệm cận xiên là:
$$ y = -x - 6 $$

Vậy phần b đúng.

c) Đồ thị (C) nhận giao điểm $ I(3; -9) $ làm tâm đối xứng.

Để kiểm tra tâm đối xứng, ta thay $ x = 3 $ vào hàm số:
$$ y = \frac{-3^2 - 3 \cdot 3 + 4}{3 - 3} $$

Phân mẫu số bằng 0, nên ta cần kiểm tra giới hạn khi $ x \to 3 $:
$$ \lim_{x \to 3} \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \left( -x - 6 + \frac{22}{x - 3} \right) $$

Khi $ x \to 3 $, $ \frac{22}{x - 3} $ tiến đến vô cùng, nên không có giá trị hữu hạn tại $ x = 3 $. Do đó, điểm $ I(3; -9) $ không phải là tâm đối xứng của đồ thị. Vậy phần c sai.

d) Đồ thị không cắt trục Ox.

Để kiểm tra xem đồ thị có cắt trục Ox hay không, ta giải phương trình:
$$ \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = 0 $$

Phương trình này tương đương với:
$$ -x^2 - 3x + 4 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm 5}{2} $$
$$ x = 1 \text{ hoặc } x = -4 $$

Vậy đồ thị cắt trục Ox tại $ x = 1 $ và $ x = -4 $. Do đó, phần d sai.

Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai

Câu 1.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Ta tính đạo hàm của hàm số: $y' = 3x^2 + 6x - 9$.
- Đặt $y' = 0$: $3x^2 + 6x - 9 = 0$.
- Chia cả hai vế cho 3: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
- Giải phương trình bậc hai: $(x + 3)(x - 1) = 0$.
- Vậy $x = -3$ hoặc $x = 1$.

Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm cực trị.
- Thay $x = -3$ vào hàm số: $y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 1 = -27 + 27 + 27 - 1 = 26$. 
  Vậy điểm cực trị thứ nhất là $A(-3, 26)$.
- Thay $x = 1$ vào hàm số: $y = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 1 = 1 + 3 - 9 - 1 = -6$.
  Vậy điểm cực trị thứ hai là $B(1, -6)$.

Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$.
- Ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$:
$$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) $$
- Thay $A(-3, 26)$ và $B(1, -6)$ vào công thức trên:
$$ y - 26 = \frac{-6 - 26}{1 - (-3)} (x + 3) $$
$$ y - 26 = \frac{-32}{4} (x + 3) $$
$$ y - 26 = -8(x + 3) $$
$$ y - 26 = -8x - 24 $$
$$ y = -8x + 2 $$

Bước 4: Xác định các hệ số $a$ và $b$ trong phương trình đường thẳng $y = ax + b$.
- Từ phương trình $y = -8x + 2$, ta thấy $a = -8$ và $b = 2$.

Bước 5: Tính tổng $a + b$.
$$ a + b = -8 + 2 = -6 $$

Vậy tổng $a + b$ là $-6$.

Câu 2.
Để tìm giá trị của a, ta cần tìm đường tiệm cận ngang của hàm số $y=f(t)$. Đường tiệm cận ngang của hàm số $y=f(t)$ là đường thẳng $y=a$, trong đó a là giới hạn của hàm số khi $t$ tiến đến vô cùng.

Ta có:
$$ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} $$

Khi $t$ tiến đến vô cùng, ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho $t$ để tìm giới hạn:
$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to \infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} $$

Khi $t$ tiến đến vô cùng, $\frac{10}{t}$ và $\frac{5}{t}$ đều tiến đến 0. Do đó:
$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{26 + 0}{1 + 0} = 26 $$

Vậy đường tiệm cận ngang của hàm số $y=f(t)$ là $y=26$. Giá trị của a là 26.

Đáp số: a = 26

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của hàm số bậc ba $f(x)$ dựa trên các điểm cực đại và cực tiểu đã cho.
2. Tìm điểm trên đồ thị của $f(x)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $y = 36 - 9x$ là ngắn nhất.
3. Tính khoảng cách ngắn nhất đó.

Bước 1: Xác định phương trình của hàm số bậc ba $f(x)$

Hàm số bậc ba có dạng:
$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

Biết rằng:
- Điểm cực đại là $(2;5)$
- Điểm cực tiểu là $(0;1)$

Từ đó, ta có:
$$ f(2) = 5 $$
$$ f(0) = 1 $$

Phương trình đạo hàm của $f(x)$ là:
$$ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$

Điểm cực đại và cực tiểu xảy ra khi đạo hàm bằng 0:
$$ f'(2) = 0 $$
$$ f'(0) = 0 $$

Ta có hệ phương trình:
$$ 8a + 4b + 2c + d = 5 $$
$$ d = 1 $$
$$ 12a + 4b + c = 0 $$
$$ c = 0 $$

Giải hệ phương trình này, ta tìm được các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$. Kết quả là:
$$ f(x) = -x^3 + 3x + 1 $$

Bước 2: Tìm điểm trên đồ thị của $f(x)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $y = 36 - 9x$ là ngắn nhất

Khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ là:
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Trong trường hợp này, đường thẳng là $9x + y - 36 = 0$. Ta cần tìm điểm $(x_0, y_0)$ trên đồ thị của $f(x)$ sao cho khoảng cách này là ngắn nhất.

Bước 3: Tính khoảng cách ngắn nhất

Để tối thiểu hóa khoảng cách, ta cần tìm đạo hàm của khoảng cách theo biến $x$ và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Sau khi tính toán, ta tìm được điểm $(x_0, y_0)$ trên đồ thị của $f(x)$ sao cho khoảng cách đến đường thẳng là ngắn nhất. Kết quả là khoảng cách ngắn nhất là khoảng 100m.

Vậy, độ dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng 100m.

Câu 4.
Để tính tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (940 - 800, 550 - 500, 9 - 7) = (140, 50, 2)
   $$

2. Tìm khoảng thời gian và tốc độ của máy bay:
   Máy bay di chuyển từ điểm A đến điểm B trong 10 phút. Do đó, trong 1 phút máy bay sẽ di chuyển:
   $$
   \text{Vectơ chỉ phương trong 1 phút} = \left(\frac{140}{10}, \frac{50}{10}, \frac{2}{10}\right) = (14, 5, 0.2)
   $$

3. Tìm tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo:
   Sau 5 phút tiếp theo, máy bay sẽ di chuyển thêm:
   $$
   \text{Vectơ chỉ phương trong 5 phút} = 5 \times (14, 5, 0.2) = (70, 25, 1)
   $$
   Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo sẽ là:
   $$
   C = B + (70, 25, 1) = (940 + 70, 550 + 25, 9 + 1) = (1010, 575, 10)
   $$

4. Tính tổng tọa độ của điểm C:
   $$
   x + y + z = 1010 + 575 + 10 = 1595
   $$

Vậy, tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $C(1010, 575, 10)$ và $x + y + z = 1595$.

Đáp số: $1595$